Quotient. 
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Quotient. 
Beispiel. Sei gegeben: 
87390251443. 
Die Summe der Ziffern von grader Ord 
nung ist: 
4+1+2+9+7 = 23, 
die der von ungrader Ordnung: 
3+4+5 + 0+3 + 8 = 23, 
23-23 = 0, 
also die Zahl ist durch 11 theilbar. 
Der Beweis beruht auf folgenden Be 
trachtungen. 
„Fügt man zur Einheit eine grade 
Anzahl von Nullen hinzu, so hat man 
ein Vielfaches von 11, vermehrt um die 
Einheit.“ 
Denn: 
100 = 99+1, 10000 = 9999+1 . . ., 
wo 99, 9999 . . . offenbar durch 11 theil 
bar sind. Hieraus folgt: 
„Wenn zu irgend einer Ziffer eine 
grade Zahl von Nullen kinzugefügt wird, 
so hat man ein Vielfaches von 11, ver 
mehrt um diese Ziffer.“ 
Z. B.: 
70000 = 7 (9999 + 1) = 7 • 9999 + 7 
ist also gleich einem Vielfachen von 11, 
vermehrt um 7. 
„Fügt man zur Einheit dagegen eine 
ungrade Anzahl von Nullen hinzu, so 
erhält man ein Vielfaches von 11, ver 
mindert um die Einheit.“ 
Es ist nämlich: 
10 = 11 -1,1000 = 990+10 = 990+11 -1, 
100000=99990+11-1 . . ., 
und es folgt hieraus wie oben: 
„Jede Ziffer, zu der man eine un 
grade Anzahl von Nullen hinzufügt, gibt 
ein Vielfaches von 11, vermindert um 
den Betrag der Ziffer.“ 
Sei nun p die Summe der Ziffern von 
grader Ordnung, die also, wenn man 
sie ihrem wahren Werthe nach nimmt, 
eine ungrade Anzahl von Nullen hinter 
sich haben, so ist der wahre Werth der 
selben n *11— p, wo n eine ganze Zahl 
ist. Denn in unserm Beispiel ist; 
40+1000+200000+90000000 
+ 7000000000 
der wahre Werth der Ziffern, also einem 
Vielfachen von 11, weniger 4+2+9+7 
gleich. Ebenso ist s • n+q der Betrag 
der Ziffern von ungrader Ordnung, wenn 
s eine ganze Zahl, und q die Quersumme 
der Ziffern ist. 
Die ganze gegebene Zahl hat also den 
Werth: 
lls+i + llu—/> = m(s+m) + q—p. 
Ist also q—p durch 11 theilbar, so ist 
es die ganze Zahl ebenfalls, da der 
übrige Theil ein Vielfaches von 11 ist, 
q—p aber bildeten wir, indem wir die 
erste Quersumme von der letztem ab 
zogen. 
Es ist leicht ersichtlich, dass man 
mittels der hier gegebenen Regeln in 
IV. und VII. auch die Divisionsreste 
findet, die bezüglich bei der Division 
mit 9 und 11 bleiben. 
Behandelt man nämlich die bezügliche 
Quersumme, wenn man durch 9, oder 
den Rest von zwei Quersummen, wenn 
man durch 11 dividiren will, ganz in 
derselben Weise, so wird sich schliess 
lich eine Zahl ergeben, die kleiner als 
9 oder 11 ist, und dies ist der Divi 
sionsrest. Z. B. 9871672 hat zur Quer 
summe 40, die Quersumme von 40 ist 
. . . . n . . . f 9871672 
4, also 4 der Divisionsrest von ——. 
Da diese Regeln für die Ermittelung 
grösserer gemeinschaftlicher Divisoren 
zweier Zahlen nicht ausreichen, so ist 
eine „ Factorentafel welche die ein 
fachen Factoren der ganzen Zahlen ent 
hält, zuweilen sehr nützlich. Eine solche 
ist z. B. in „Vegas Sammlung mathe 
matischer Tafeln, herausgegeben von 
J. A. Hülsse“ enthalten, und gibt die 
einfachen Factoren der Zahlen bis 
102000, mit Ausnahme der durch 2, 3, 
5 theilbaren an. 
4) Quotienten in der Gestalt 
von Decimalbrüchen. 
Einen immer gleichmässigen Ausdruck 
für alle Quotienten, mögen dieselben 
ganze Zahlen, echte oder unechte Brüche 
sein, gewährt die Form der Decimal- 
brüche. Diese Ausdrücke beruhen auf 
folgenden Betrachtungen. 
Sei zu dividiren 798126 durch 6913’ 
, , _ . 798126 
so kann man den Quotienten - = a 
6913 
mit einer beliebigen Zahl, etwa mit 10000, 
multipliciren, indem man den Dividendus 
mit 10000 multiplicirt. Man wird dann 
haben: 
7991270000 
6913 
= 10000 a, 
und indem man die Division wirklich 
ausführt: