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Quotient. 
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Quotient. 
Offenbar hat dieselbe aber nur für die Werthe von z eine Gültigkeit, für welche 
sie convergirt. Da der Quotient für z = 0 endlich bleibt, findet dies 
1—z—z 2 
immer bis zu einer gewissen Grenze hin statt. Das Criterium der Convergenz ist 
übrigens hier, wie leicht zu sehen, das, dass der Rest, mit welchem man abbricht, 
sich mit zunehmender Gliederzahl der Null nähern muss, weil nur in diesem Falle 
der Ergänzungsbruch verschwindet. 
9) Umwandlung derjenigen Quotienten, wel che Ir ratio n ali- 
täten im Nenner haben. 
Es ist oft nöthig, den Quotienten, welche Irrationalitäten enthalten, eine solche 
Form zu geben, dass im Nenner dieselbe wegfällt. Es kann dies immer gesche 
hen. — Wir zeigen dies zunächst für die einfacheren Fälle, 
A) Enthalte der Divisor eine Quadratwurzel, oder er bestehe aus zwei Glie 
dern, deren jedes eine Quadratwurzel bildet. 
Der Quotient hat in diesem Falle eine der Formen: 
oder 
b + fx yb + 
Im ersten Falle wird Zähler und Nenner mit b — yx, im letztem mit yi—y# er 
weitert. Man erhält: 
a (b—yx) n{b— y^) 
\b + yx) (b — yx) b' 2 —x 
a(\b—Yx) _ a(yb—Yx) 
b—x 
( yb+yx)(yb-y x ) 
Beispiele. 
J^ = y20(3-V8) 
3 + y8 9-8 Y r 
2V8 _ 2V8(2V6-3y2) _ V8(2V6 -3y2) _8V3-12 
2y6+ 3y2 ~ 24-18 - 3 ~ 3 
8y3 
-4. 
B) Kommen mehr als eine, bezüglich zwei Quadratwurzeln vor, so kann man 
dies Verfahren so oft als nöthig wiederholen. 
Beispiele. 
Sei gegeben: 
V24 
y2 + ye - yr 
Man denkt y2-by6+y7. Dies gibt: 
y2(y2+y6+y7) _ 2+2y3+yi4 
(y2+y6)»-7 “ 1+4 y3 ‘ 
Es wird nun mit 1—4y3 erweitert: 
(2+2y3+yi4)(1 —4y3) _ -22-6y3+yi4-4y42 _ 22+6y3+4y42-yi4 
(1 + 4y3) (1—4y3) “ -47 47 
C) Dies Verfahren lässt sich auf alle Arten von Irrationalitäten erweitern. 
Sei zunächst der Quotient: 
und x, irgend eine Wurzel einer Gleichung «ter Ordnung. x 2 , x s 
die andern Wurzeln derselben. Nun ist: 
x,. x,. x-, 
Das Product im Nenner ist bekanntlich gleich dem Coefficienten des letzten Glie 
des der Gleichung, und somit ist der Nenner rational gemacht.