Quotient. 
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Quotient. 
Sei der Quotient jetzt: 
« 
ct + 6.r l + ca; l 2 +ea; 1 3 + • ■ •’ 
wo x die obige Bedeutung hat. Man bildet dann die Polynomina: 
a-\-hx. i -\-c x 2 2 +ea; 2 3 + . . . 
a+bx3+cx 3 2 +ex 3 3 + . . . 
a + bx 4-cx 2 + ea; 3 4- . . . 
n 1 n 1 n 1 
und erweitert den Bruch mit dem Producte derselben. Führt man im Nenner 
dann die Rechnung aus, so wird derselbe nur symmetrische Functionen der Wur 
zel enthalten, und diese lassen sich bekanntlich rational durch die Coefficienten 
der Gleichung ausdrücken, womit die Aufgabe gelüst ist. 
Beispiel. 
7 
9+» l 
sei gesucht, wo x t eine Wurzel der Gleichung: 
x 3 + 2.r —4 = 0 
sein soll. —- Man hat: 
Aber: 
also: 
(9+«i)(9+a? a ) (9+x 3 ) = 729 + 81;(z l +.T 2 +.r J )+9(.r l .r 2 +.r t x 3 +x 2 x 3 ) 
-yx l x i x 3 . 
x i +x s =0, x 2 -\-x v x i -\-x i x 3 =2 und x t x 2 x 3 =4, 
7 7(9 + * 2 )(9 + * ;! ) _ 7(9+* 2 )(9 + * s ) 
9 + x | 729+2-9 + 4 751 
Die häufigste Anwendung des Rationalmachens der Nenner ist die auf Ausdrücke 
von der Form: 
« + ßV—i 
y+ö'Y-r 
Wird hier mit y—cf]/ — 1 erweitert, so erhält man: 
cty-{-ßd-{-(ßy—«dj y~ 1 
y» + J> ‘ 
10) lieber das Wegschaffen gemeinschaftlicher Factoren in 
Dividendus und Divisor bei Zahlen und Buchstabenausdrücken. 
Die Aufgabe, aus einem Quotienten einen möglichst grossen Zahlen- oder 
Buchstabenfactor wegzuheben, ist offenbar identisch mit derjenigen, den grössten 
gemeinschaftlichen Factor zweier Zahlen oder Buchstabenausdrücke zu ermitteln. 
Das Verfahren ist folgendes. Sei a die grössere, b die kleinere beider Zahlen, 
oder a der Buchstabenausdruck von höherer Ordnung, b der von niederer. Man 
dividirt a durch b und bildet den Divisionsrest i\ , dividirt dann b durch i\, sei 
r 2 der Divisionsrest. Es wird dann r t durch r 2 und so fort immer der letzte 
Divisor durch den Divisionsrest dividirt, bis endlich die Division aufgeht oder der 
Rest 1 erscheint. Im ersteren Falle ist der letzte Divisor der grösste gemein 
schaftliche Factor von a und b. Im letztem Falle ist kein solcher Factor vor 
handen. 
Der Beweis ist leicht zu führen. 
Seien q, q v , q % . . . die auf einander folgenden ganzen Quotienten, also: