. Form (Zalilenlehre). 
Quadratische Gleichungen. 75 Quadratische Gleichungen. 
Aufgabe Grund einer neuen 
orden, so wie die Verein- 
:r Gleichung auf die Trans- 
thoden geführt hat. Als 
er Theorie ist La Grange 
, dessen Abhandlungen aus 
te sich namentlich in den 
i der Berliner Akademie 
bis dahin Vorhandene hat 
seiner ,,Théorie des nom- 
kusgabc 1799, 3te von ihm 
esorgte Ausgabe von 1833) 
id erweitert. In dem be- 
ke von Gauss „disquisilio- 
cae“ (Erste Ausgabe von 
icu erschienen, 1863, als 
on der Göttinger Akademie 
sgabe von Gauss’s sämmt- 
n) sind der Theorie der 
Formen ganz neue Stand- 
onnen und durch die Sätze 
eintheilung, Gruppen der 
u. s. w. diese Theorie im 
r Behandlung der unbe 
dratischen Gleichungen als 
ige Lehre hingestellt wor- 
’hcil der Gaussischen Sätze 
jeune - Dirichlet ein neuer 
bgewonnen worden, indem 
trachtungen, die der Ana 
len waren, anwandte. Es 
dadurch die Gauss’schen 
e minder abstracto Art zu 
dadurch im hohem Grade 
ihaftlichen Gemeingut zu 
gleich aber diese Theorie 
erweitern. Seine Arbeiten 
;bieie sind sowohl in den 
i der Berliner Akademie, 
»er auch in Crelle’s Journal 
und angewandte Mathema- 
hier an: 
des séries infinies dans la 
nombres“ (Grelle Band 18, 
) 
tur diverses applications de 
infinitésimale, à la théorie 
es : première partie (Creile 
Seite 324), seconde partie 
Seite 1). 
richlet begründete Anwen- 
lysis auf die Zahlcntheorie 
: Zeit bedeutende Erweite- 
n, namentlich sind Kum- 
ì, Hcrmite auf diesem Felde 
a. 
nung der Theorie der qua- 
rmen auf Formen höheren 
neuester Zeit, namentlich 
u-’s berühmte Arbeiten er- 
Ein andres Verdienst hat. sich Dirich 
let auch durch die im Verfolge seiner 
Universitätslaufbahn öfter wiederholten 
Vorlesungen über die Zahlentheorie, na 
mentlich mit Bezug auf die quadratischen 
Formen erworben, und ist er wohl als 
derjenige zu betrachten, der die Kennt 
nisse hiervon zuerst in weitere Kreise 
hineingetragen hat. 
Bei der hier gegebenen Uebersicht ist 
neben andern Arbeiten von Gauss und 
Dirichlet auch ein Theil einer dieser 
Dirichletschen Vorlesungen benutzt wor 
den, was wohl keinen Anstand finden 
dürfte, da diese Vorlesungen unter dem 
Titel; „Vorlesungen über die Zahlentheo- 
rie (herausgegeben von Dedckind)“ bereits 
im Drucke erschienen sind. 
Quadratische Gleichungen. 
1) Jede algebraische Gleichung mit 
einer oder mehreren Unbekannten, heisst 
quadratisch, wenn sie auf die Form einer- 
ganzen algebraischen Function, die gleich 
Kuli ist, gebracht werden kann, in wel 
cher kein Glied die Unbekannten in euer 
hohem Dimension, als der 2tcn enthält. 
Die Gleichung 
x 3 + 5y 2 a;-(-3= 0 
ist also keine quadratische, weil zwar x 
und y einzeln in keiner hohem, als der 
2ten Potenz verkommen, das Glied 
5i\ 3 x aber in Bezug auf beide Unbe 
kannten von der 3ten Dimension ist. 
Die Frage, ob eine Gleichung qua 
dratisch ist oder nicht, kann also erst 
entschieden werden, wenn sie auf die 
Form einer ganzen algebraischen Func 
tion, die gleich einer Constanten ist, 
gebracht worden ist. 
So z. B. ist die Gleichung 
x—4 1 
■*+3 x—2 
eine quadratische, obgleich sie in dieser 
Gestalt nur ex-ste Potenzen von x ent 
hält, denn schafft man die Nenner weg, 
vereint die zusammengehörigen Glieder, 
so kommt: 
5#*+ 13a:—41=0. 
p und q können positive und negative, 
im Allgemeinen auch imaginäre Zahlen 
sein; auch können sic ganz gebrochene 
oder irrationale Wertho haben. 
Um diese Gleichung aufzulösen, kann 
man sie noch auf die Form bringen 
x 2 -)-px= —q 
und durch Hinzufügung des Ausdruckes 
+ auf beiden Seiten der Gleichung 
das erste Glied derselben in ein voll 
ständiges Quadrat umwandeln. Es ist 
dann: 
x r ‘ + px + 
(l)’=K)Ml) 
3 
-?• 
Unter dieser Form ist die Gleichung 
durch Ausziehen einer Quadratwurzel 
aufzulösen. Also: 
Der Wurzel aber ist das doppelte Vor 
zeichen zu geben, da sie sowohl positiv 
als negativ sein kann. Die Gleichung 
hat also immer 2 Auflösungen: 
2) Dieser Umstand, dass es 2 Auflö 
sungen oder Wurzeln einer quadratischen 
Gleichung gibt, ist wichtig. Zu solchen 
Gleichungen führen in der That oft Auf 
gaben, die einer zweifachen Lösung fähig 
sind. Bei anderen Aufgaben allerdings 
hat oft die eine Wurzel für diese gar 
keine Bedeutung, insofern ihr Werth für 
dieselbe keinen Sinn gibt. 
Wir wollen dies an Beispielen zeigen. 
Bekanntlich ist die Formel für die Summe 
S einer arithmetischen Progression, deren 
erstes Glied a, deren Differenz b und 
deren Gliederanzahl n ist: 
„ , w(n—1) 
is — na 4 ——-b. 
Die schliessliche Form, auf die sich 
eine quadratische Gleichung bringen lässt, 
ist somit allgemein 
Ax 3 -\-Bx-\- C—0, 
also wenn man mit A dividirt und 
B C 
Ä = P’ A = q 
setzt: 
x 2 +px-\-q=0. 
Stellt man sich nun die Aufgabe, aus 
S, a und b die Grösse n zu finden, so 
ist eine quadratische Gleichung zu lösen. 
Sei z. B. 
das erste Glied « = 3, 
die Differenz b = 2, 
und 
die Summe <S = 168, 
so ist: