Quadratische Gleichungen. 
78 Quadratische Gleichungen. 
Quadn 
auch das Zeichen von p beschaffen sei. 
Hieraus ergibt sich folgende Tafel für 
die Beschaffenheit der Wurzeln: 
Fall I. q positiv und kleiner als 
a) p ist positiv: 
2 negative Wurzeln. 
b) p ist negativ: 
2 positive Wurzeln. 
Fall II, q positiv und grösser als 
(I)’ 
2 imaginäre Wurzeln. 
Fall III. q negativ: 
eine positive und eine negative Wurzel. 
Führt man statt p und q aber die Grös 
sen A, B, C ein, so ist die Bedingung, 
B C 
dass -j- oder -j positiv sind, gleichbeden- 
tend mit der, dass Zähler und Nenner 
gleiche Zeichen haben, und die Bedin 
gung, dass der Bruch negativ sei, mit 
der, dass diese Zeichen ungleich seien. 
Die Tafel nimmt dann folgende Ge 
stalt an; 
Fall I. C und A haben gleiche 
Zeichen, und B 2 ist > 4 AC. 
a) B hat gleiches Zeichen mit 
A und C: 
2 negative Wurzeln. 
b) B hat entgegengetztes Zei 
chen mit A und C: 
2 positive Wurzeln. 
Fall II. C und i haben gleiche 
Zeichen und B l ist < 4AC: 
2 imaginäre Wurzeln. 
Fall III. C und A haben un 
gleiche Z eichen: 
eine positive und eine negative Wurzel. 
5) Bei Einführung der Grössen A, B, C 
nehmen die Wurzelwerthe die Gestalt an: 
und 
= +U' /B ’~ iAC 
B i 
= ~23 -ä/*’- 4 * 6 ’ 
So einfach diese Ausdrücke auch sind, 
so sind sie in dieser Gestalt doch für 
das logarithmische Rechnen sehr unbe 
quem, falls A, ß, C Irrationalzahlen 
oder Decimalbrüche mit mehreren Stel 
len sind. 
Man hat daher verschiedene Methoden 
die Rechnung abzukürzen. 
Eine solche bietet die Trigonometrie 
dar. Sie soll jetzt gegeben werden. 
Da sich hierbei die Rechnung in je 
dem unserer mit I., II. und III, bczeich- 
ncten Fällen anders gestaltet, so wollen 
wir für Fall III., wo A und C migleiche 
Zeichen haben, statt des Ausdruckes 
Vß 2 —4AClieber ]/ß 2 -(-4AC schreiben, 
indem wir auf das negative Zeichen von 
AC Rücksicht nehmen. 
Fangen wir jedoch mit Fall I. 
a n. In die Formeln: 
und 
"> = -§i 
wird gesetzt 
2 VAC 
B 
=. sin q. 
Es wird hier, da 
B 2 >4:AC, also B>2YIc 
ist, der Werth von sin <f immer ein äch- 
ter Bruch sein, also sich stets bestim 
men lassen. Diese Werthe dienen dazu, 
um die Grösse 4AC-B 2 sin</ 2 zu be 
stimmen und man hat: 
B , B 
*i - ”2ä(1-V1-siny 2 ) = -^(l-cosy) 
und ebenso 
B 
x * = - U (X + cos «/). 
Es ist aber 
t 
2 
J , 1 + cos (f - 2cos ’ 
1 — cos (f =2 sin ^ 
also 
In Fal 
die Würze 
zurückzufü 
und imagii 
denen von 
Es ist dar 
r cos .9 = 
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dirt sie, s( 
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gleiche Ze 
sie als pc 
Ausdruck , 
jedenfalls 
so wird: 
oder 
Wird dies 
wo, A und 
6) 
Für de 
nehmen wir 
wo offenbar