ratische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 79 Quadratische Gleichungen. 
tiführung der Grössen A, B, C 
Yurzelwerthe die Gestalt an; 
23 + 23^ 2 -4^C ' 
B 1 , 
23-23^ 2 - 4 ^ 6 ’ 
diese Ausdrücke auch sind, 
in dieser Gestalt doch für 
nische Rechnen sehr unbe- 
A, B, C Irrationalzahlen 
Ibrüche mit mehreren Stel- 
aher verschiedene Methoden 
;■ abzukürzen. 
e bietet die Trigonometrie 
1 jetzt gegeben werden. 
¡erbei die Rechnung in je- 
mit I., II. und III. bezeich- 
anders gestaltet, so wollen 
III., wo A und C ungleiche 
en, statt des Ausdruckes 
eher Yß 2 -f 4AC schreiben, 
if das negative Zeichen von 
t nehmen. 
vir jedoch mit Fall I. 
F ormeln: 
J 
Väc . 
— Sin 7. 
B ' 
da 
AC, also B>2YaC 
von sin if immer ein äch- 
i, also sich stets bestim- 
liese Werthe dienen dazu, 
se 4AC= R 2 siny 2 zu be- 
man hat: 
- cos (f) 
In Fall II ,, wo B 2 <AAC war, sind Winkel .9- ist kleiner oder grösser als 
die Wurzeln x. und x.> auf die Form n . , _ _ ... . . 
jr, je nachdem B positiv oder negativ ist. 
&i 3 —9i 2 
re und re 
zurückzuführen, wenn man die reellen 
und imaginären Theile dieser Ausdrücke 
denen von o:, und rc 2 einzeln gleich setzt. 
Es ist dann: 
In Fall III. war zu setzen: 
x, = 
¿+¿^’+4 AC, 
*’ = “2A ß +4/1C- 
und ® t , sowie Xi werden dann: 
B . „ VaAC-B\ 
r cos .9 = — q-j, r sin ,9 = . > 
¿A ¿A Ganz unabhängig von der Grösse der 
... ~ i „ i Ausdrücke A, B, C kann man setzen: 
quadnrt man diese Ausdrucke und ad- ’ ’ 
dirt sie, so kommt: 2 y AC 
c ,c S -=tgi ' 
r =7’ r =y^- 
eine immer reelle Grösse, da C und A 
gleiche Zeichen haben. Wir betrachten 
sie als positiv. Dieser Werth in den 
Ausdruck für r cos ,9 gesetzt, gibt dann: 
B 
COS .9 = 7—, 
2 MC 
jedenfalls ein echter Bruch, und der 
so wird: 
B COSr/:— 1 
X , — : 
** = ~23( 1 --l / l+tgy i ), 
Xi = _ 23( 1+ l / l+tgy3). 
Da aber 
/l+tgyd — 
' b f COS (f i 
B 1 -f- cos ii 
X, = —7 
oder 
2A cos ff> 
(*)’ 
2 A cos (f 
B 8ln (f)’ 
sp — ? 
1 A cos ~ 2 ~ a cos if> 
Wird dies in in Gestalt einer Tafel geordnet, so hat man folgende Wurzelwerthe 
wo, A und C immer positiv vorausgesetzt, B ein beliebiges Zeichen haben kann: 
Gleichung Ax 2 -\-Bx-\-C= 0: 
Fall I. B 2 >AAC 
siny=2J 5^’ *‘ = -| ** = _ 4 C0, (f)’ 
cos ,9 = — ' .—_, X, = 
2 Y AC 1 
Fall II. B 2 <AAC 
l~C 
-Y 
c — w 
Ä e • 
Gleichung Ax 2 +Bx—C=0: 
tg'/ 
Mac 
-(*)’ 
B 
z? 
~A COS (f> 
B 
(f) 
6) Beispiele. 
Für den ersten Fall der Gleichung 
Ax 2 -\-Bx-\-C— 0 
nehmen wir als Beispiel: 
7,29136a; 5 - 67,213a:+2,901348 = 0, 
wo offenbar B 2 >AAC ist.