Quadratische Gleichungen. 
82 Quadratische Gleichungen. 
Der Fall, wo P und R gleiche Zeichen 
Q* 
haben und — grösser als 4 ist, gibt 
nämlich offenbar imaginäre Wurzeln. 
Das folgende Täfelchen zeigt nach 
Gauss, wie in jedem der 3 Fälle zu ver 
fahren ist. 
Die Buchstaben a, h, c, d, e, f zeigen 
Zahlen an, deren Logarithmen in den 
Spalten A, B, C, D, E, F sich befinden. 
Erste Wurzel. 
Zweite Wurzel. 
Falli. - =d 
9 
Fall II. - f- =e 
h 
Fall III. - 9 - =f 
x l ~ —— oder = —gc 
x, — ha oder = —— 
c 
*,=* oder =-f 
a b 
x. 2 =: —gb oder = — 
7 h 
x 2 =~ oder = 
a c 
x. 2 ~ga oder =: — hb. 
h 
c 
Im ersten Falle z. B. ist also der 
Logarithmus von - in Spalte D auf 
zusuchen, und der Logarithmus der er 
sten Wurzel (mit umgekehrtem Vorzei 
chen) ergibt sich dann, wenn man den 
daneben in Spalte B stehenden Werth 
von lg h ahzieht, oder den in C stehen 
den Werth zu lg g addirt. Wie die 
zweite Wurzel aufgefunden wird, und in 
den andern Fällen zu verfahren ist, sieht 
sich wohl von seihst ein. 
Der Beweis für die Richtigkeit dieses 
Verfahrens beruht darauf, dass man die 
Gleichung 
x. 2 -\-hx+gh—0 
unter der Form schreiben kann: 
x -( x - +1) = -K 
h \h r / h 
Im Falle I., wo j- positiv ist, denke 
man — — als in der Spalte B enthalten, 
x 
also gleich b gesetzt; es wird dann: 
g__ 6-1 
h~ 6 2 ’ 
wofür man auch wegen der Gleichung 
b 
schreiben kann: 
h i > 
~ — bc— o 
9 
welche Gleichung in Verbindung mit 
x v — 1 
h b 
die erste Wurzel gibt; der zweite Werth 
derselben 
x i ~—9 c 
ergibt sich daraus, dass 
h — gbc 
war. Die zweite Wurzel kann aus der 
Formel 
x v x. 2 —hg 
gefunden werden, wenn man für ein 
setzt. In derselben Weise wird man 
das in den Fällen II. und III. angege 
bene Verfahren verificiren können. 
Dies Verfahren ist namentlich dann 
von Vortheil, wenn man, wie dies oft 
vorkommt, nicht die Wurzeln selbst, son 
dern nur ihre Logarithmen zu weiteren 
Rechnungen nöthig hat. 
8) Wir kommen jetzt auf einige An 
wendungen der quadratischen Gleichun 
gen mit einer Unbekannten, und wollen 
zunächst solche nehmen, welche die Al 
gebra selbst betreffen. 
a) Eine der einfachsten ist die: Eine 
gegebene ganze Function vom 
zweiten Grade in 2 lineäre Fac 
to ren zu zerlegen. 
Sei 
Ax* + Bx+C— A(x—«) (x—ß) 
die zu zerlegende Function. 
Soll der Ausdruck links gleich Null 
sein, so muss entweder 
x — u oder x — ß 
werden. Die Grössen « und ß werden 
also gefunden, indem man die Gleichung 
Ax'+Bx+C^ 
auflöst und 
setzt. 
a = x v ß = x 2 
Es ist also, wenn wir die in 6) gegebenen Beispiele anwenden: 
7,29136a: 2 —67,218*+2,901348 = 7,29136 (*—9,174858) (*—4,338046), 
81,235* * +12^227*+3,2156 = 
81,235 (x - 6,291575e 1,958709 ^ ~ 1 ) (* ■- 6,291575^“ 1,9587 ° 9 ^ ~ *),