83 Quadratische Gleichungen. 
tische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 
¡edem der 3 Fälle zu ver- 
ien a, b, c, d, e, f zeigen 
ren Logarithmen in den 
0, D, E, F sich befinden. 
Zweite Wurzel. 
x. 2 = —gb oder = —— 
x 2 — ~ oder = —— 
a c 
x i ~ga oder = — hb. 
3l gibt; der zweite Werth 
x i = ~9 C 
,us, dass 
h — gbc 
ite Wurzel kann aus der 
^ x 2 -hg 
n, wenn man für ein- 
elben Weise wird man 
llen II. und III. angege- 
verificiren können, 
en ist namentlich dann 
venn man, wie dies oft 
t die Wurzeln selbst, son- 
Logarithmen zu weiteren 
thig hat. 
men jetzt auf einige An 
quadratischen Gleichun- 
Jnbekannten, und wollen 
nehmen, welche die Al- 
treffen. 
infachstcn ist die: Eine 
inze Function vom 
de in 2 lineare Fac- 
legen. 
f-C=A(a—a) {x—ß) 
de Function. 
sdruck links gleich Null 
mtweder 
« oder x = ß 
Irössen « und ß werden 
indem man die Gleichung 
ßx + C—0 
- X I, ß — x 2 
anwenden: 
158) (a—4,338046), 
—1,958709}/^+L 
endlich: 
63,27a 2 +44,15a-—28,217 = 63,27 (a-0,4045637) (.* + 1,102358). 
b) Bekanntlich hat jede Zahl 3 dritte 
Wurzeln, von denen jedoch immer nur 
eine reell, und 2 imaginär sind, wenn 
auch die Zahl reell ist. Es sollen diese 
imaginären Wurzeln mit Hülfe der Auf 
lösung einer quadratischen Gleichung be 
stimmt werden. 
Sei a die Zahl, deren dritte Wurzeln 
zu finden sind und b diejenige Wurzel, 
welche reell ist, so gibt die Gleichung 
x 3 — a 
alle 3 Wurzeln, oder da 
a~b\ 
ist 
X 3 —¿3 — 0. 
Die Gleichung, mit —— multiplicirt, 
x 2 b 2 
nimmt nämlich die Form an: 
x 2 x _ b 6 2 . 
!++■ r +H 1—r =0 ; 
b 2 b xx 2 
und wenn man 
x b x 2 b 2 „ 
l =i + ; aU ° s ’=p+^+ 2 
einsetzt, wird: 
d. h. 
s 2 +z —1 = 0, 
•i = “|(i+yB), = -(!-}/5). 
Eine Wurzel dieser Gleichung ist jeden 
falls 
x — b. 
Es muss also x 3 — b 3 den Factor x—b 
haben. Indem man mit demselben die 
Gleichung dividirt, erhält man: 
x 2 -\-bx+b 2 — 0 
und diese quadratische Gleichung ent 
hält nur noch die beiden imaginären 
dritten Wurzeln, in der That sind die 
Auflösungen beide imaginär, und 
und 
A 1 und x 2 sind also die beiden imagi- 
s_ 
nären Werthe von}/«, wenn b der reelle 
Werth dieser Wurzel ist. 
c) Durch Auflösung quadratischer Glei 
chungen lassen sich auch die 4 imagi 
nären 5ten Wurzeln einer gegebenen Zahl 
finden. 
Denn sei 
a diese Zahl, 
und 
5 ,- 
b~ya der reelle Werth der Wurzel, 
so wird wieder 
x 5 —b s = 0 
sein, oder wenn man durch x — b di 
vidirt : 
x l -\-bx 3 -\-b 2 x 2 -\-b 3 x-\-b t =0. 
Diese Gleichung 4ten Grades lässt sich 
auf quadratische zurückführen, wenn man 
eine neue Unbekannte einführt: 
Der Werth von s aber erfüllt die Glei 
chung : 
x 2 — bzx-\-b 2 =0, 
also 
A 1 = |( S + }/^) 
X-2 = |-(*-V2 2 --4). 
Setzt man also sowohl in A t als auch 
in x 2 für z die berechneten Werthe von 
z v und z 2 ein, so hat man die 4 ima- 
5 
ginären Werthe von Y a - Dieselben sind: 
x v J Ä (-l+Yb +>/(—10—2/5)) 
x 2 =^(-l-Yb +/(- 10 +2}/5)) 
a 3 =j(-1+}/5 —/C—10+2/5)) 
®* = j(-1-}/5 -/-10+2/5)). 
Die Aufgabe, die imaginären nten 
Wurzeln der Einheit zu bestimmen, ist 
identisch mit derjenigen, den Kreis in 
wTheilc zu theilen. (Siehe den Artikel: 
Theilung des Kreises). Die Auflösung 
einer geometrischen Aufgabe durch qua 
dratische Gleichungen aber zeigt an, dass 
dieselbe durch Construction mittels der 
geraden Linie und des Kreises gelöst wer 
den kann. 
In allen Fällen also, wo die Auflösung 
der Gleichung 
n i n n 
x —b =0 
auf quadratische Gleichungen führt, ist 
eine geometrische Theilung des Kreises 
in n Theile möglich. Die Aufgabe, diejeni 
gen Werthe von n zu bestimmen, wo dies 
möglich ist, wird mithin von der gröss- 
6*