Quadratische Gleichungen. 86 Quadratische Gleichungen. 
Quadra 
x-fx = z, 
x 2 -fx~ 2 = z 2 -2, 
5 3 -3z-, 
verbinden wir eine andre 
1 
X — U. 
X 
3 , -3 
X +X : 
4-4 4 2 
x +x = z —4z +2, 
x & -j-x a = z- 5 —5s 3 —{-5t-, 
a- b +*~ 6 = * 6 —6* 4 +9* 2 +3 . . 
so ist offenbar 
i 
ferner 
- 2 -4, 
S + M , 1 s — u 
*=“2- Md i=-r- 
Diese beiden letzten Gleichungen lassen 
Diese Entwickelungen sind für die s '^ 1 auc h au f die gemeinschaftliche Form 
Auflösungen der reciproken Gleichungen bringen: _ _ 
allerdings hinreichend. Es sind aber Vl z-u\ 1 
diese Formeln an sich interessant ge- x ~ 2 ' 
nug, um hier die Herleitung eines Aus- T , , 
n ~n Je nachdem man nämlich +1 oder —1 
drucke« für x + x , in lenzen von s für yj setzt nimmt diese Gleichung 
zu rechtfertigen, den wir noch geben die Form und den Wcrth von x od * 
wollen. Mit der Gleichung 
,1 
Xd = Z 
X 
von — an. Nach dem binomischen Satze 
x 
aber ist: 
-“ vr =^wr>=i(.”+- ( ^“-v+iÄ=h|=M^v + .. 0 
wo die mit ]/1 multiplicirten Glieder von den übrigen getrennt sind. 
Die Reihe bis an’s Ende zu verfolgen ist nicht nöthig, da sie von selbst 
abbricht. Setzt man ]/l =-j-1 in x’^ 1 , so wird auch der zweite Theil der 
Reihe rechts mit -f-1 multiplicirt sein, und dieser Factor wird —1, wenn man 
Vl- — 1 im Exponenten von x 11 ^ setzt. Durch Addition der beiden sich so er 
gebenden Resultate erhält man: 
n(n 1)_,._2 2 »(«-l)(n-2)(«-3). B _ 4 4 
—1—2—* U 1~2 ~3 4 Ä u • 
oder 
( J ”+»2 ^~ 2 (z 2 ~4) +n 4 z»- 4 (z 2 - 4) 2 +« 6 z”“ 6 (z 2 - 4) 3 + . . .). 
2 
Es ist hier nämlich für u 2 sein oben gefundener Werth gesetzt, und mit n 1 , « 4 
sind der 2te, 4te . . . Binomialcoefficient bezeichnet. 
Es ist schliesslich klar, dass wenn man 
mittels dieser Ausdrücke die Grössen 
n — 
x -\-x m unserer Gleichung durch 
Potenzen von z ersetzt, man eine Glei 
chung vom mten Grade erhält, also eine 
solche, die nur den halben Grad der 
gegebenen hat. Ist sie aufgelöst, so ist 
jede Wurzel z in die Gleichung 
x+— = z oder x 2 —zx=—1 
x 
einzusetzen, wo sich dann für jedes z 
zwei Werthe von x, also in der That 
2m Wurzeln der reciproken Gleichung 
ergeben. 
Ein Beispiel für diesen Fall ist die 
in 8) c. gegebene Auflösung der Glei 
chung 
x* + 6x* -\-b ’x s + 6 3 x+6 4 =0, 
welche die Form einer reciproken Glei 
chung annimmt, wenn man 6 = 1 setzt, 
X 
oder T-V annimmt. 
11) I 
deuten gle 
nuitg sein. 
Man s 
x = —1 ges 
also der A 
Wurzel dei 
In der 
vidirt, dies« 
2 m , . 
x +(^i 
Dies ist al 
chung, ab 
in den ers 
Abschnitt ] 
Ist der 
die Gleichi 
die entspr 
also ist dii 
der Gleicht 
die Ordnur 
Ist enc 
Coefficiente 
ebenfalls x 
2 in , ‘ 
x +A,x 
durch x —1 
2m—1 
X + (A 
+( A m-i + 
also eine i 
hat, und w 
12) Seht 
sung quadr 
Geometrie, 
dass immer, 
grossen be 
Gleichung 
der graden 
Das dabei 
nennt man 
tischen Gle 
dargestellt ' 
Die Glek 
haben : 
Ax 2 -j-Rx 
In jedem 3 
unter x eii 
mension hö 
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