Quadratische Gleichungen. 
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Quadratische Gleichungen. 
11) Es möge jetzt Fall II. stattfinden, also die entsprechenden Coeffi- 
eienten gleiches Vorzeichen haben, aber die Gleichung von einer ungeraden Ord 
nung sein. 
Man sieht sogleich, dass wenn in 
X— —1 gesetzt wird, die gleich weit von den Enden entfernten Glieder sich heben, 
also der Ausdruck links in der That Null wird. Es ist also x—— 1 immer eine 
Wurzel der Gleichung, und es lässt sich der Factor .r + l absondern. 
In der That verwandelt sich, wenn man die ganze Gleichung durch x-\-l di- 
vidirt, dieselbe in: 
, . . -\-(A 2 — J 4 1 -j-l)a: 2 -(-(4 l — l)a:-f-l — 0. 
Dies ist abermals eine recurrente Glei- haben das entgegengesetzte Zeichen, so 
chung, aber von grader Ordnung und sieht man sogleich, dass 
in den ersten Fall gehörig, also nach 
Abschnitt 10) zu behandeln. 
Ist der vierte Fall vorhanden, also eine Wurzel ist, dass man also durch 
die Gleichung von ungerader Ordnung, x — 1 dividiren kann. Die Gleichung 
die entsprechenden Coefficienten aber wird dann: 
x 2 +(A t -f-l)a,' 2m 1 (+^4 2 +^1 1 +1)j; -f ...+(A 2 +4i-|-l)a: a +(i4 1 +l)^:+I—0, 
also ist dieselbe wie im vorigen Falle zu behandeln. Immer, wenn der Grad 
der Gleichung ungerade ist, wird dieselbe also von der Ordnung 2m +1 auf 
die Ordnung m reducirt. 
Ist endlich, wie in Fall III. gezeigt, die Ordnung gerade, die entsprechenden 
Coefficienten von ungleichen Vorzeichen und es fehlt das t mittlere Glied, so ist 
ebenfalls x — 1 eine Wurzel. Dividirt man aber 
+ An-2+ *• • • +^1+1)* +(^m—2 3+ • ‘ + + 
• • • ~K^ 2 +^4 l +l);r :s +Q4 l -fl)ar-|-l = 0, 
also eine recurrente Gieichung von ungrader Ordnung, welche die Wurzel — 1 
hat, und wie oben gezeigt zu behandeln ist. 
12) Sehr wichtig aber ist die Auflö- Gleichung doch homogene Grössen (Li- 
sung quadratischer Gleichungen für die nien, Flächen u. s. w.) vorstellen müs- 
Geomctrie. Es lässt sich nämlich zeigen, 
dass immer, wenn die Coefficienten Raum 
grössen bedeuten, die Auflösung der 
Gleichung zu einer Construction mittels 
der graden Linie und des Kreises führt. 
Das dabei einzuschlagende Verfahren 
nennt man die Construction der quadra 
tischen Gleichung, Dieselbe soll hier 
dargestellt werden. 
sen. Es wird daher — von erster Dirnen- 
sion sein, also eine Linie, -r- von der 
A 
zweiten also irgend ein Flächenstück be 
deuten, das wir uns als in der Ebene 
befindlich, und von graden Linien be- 
gränzt denken. Nach dem im Artikel 
Quadrat Gesagten, lässt sich dies immer 
in ein Quadrat auf geometrischem Wege 
Die Gleichung möge eine der Formen 
haben: 
‘ ’ verwandeln, was wir hier als geschehen 
Ax 2 -\-Bx-\-C—0, Ax 2 -\-Bx—C = 0. voraussetzen wollen. Hieraus ergeben 
In jedem Falle wird, wenn man sich folgende 4 Formen der Gleichung, 
unter x eine Linie denkt, B eine Di 
mension höher sein als A, und C zwei 
Dimensionen, da die 3 Glieder der 
wenn wir noch zwischen positiven und 
ß 
negativen — unterscheiden: