Quadratische Gleichungen. 
88 Quadratische Gleichungen. 
Quadre 
a) x 2 +px=q 2 oder x(x+p) = q a , 
b) x 2 —px — q 2 oder x(x—p)~q 2 , 
c) x 2 -\-px— — q 2 oder —x(x-\-p) = q 2 , 
d) x 2 — px~ —q 2 oder x(p — x) = q 2 . 
Die Grössen p und q stellen jetzt Li 
nien vor, welche man immer positiv sich 
denkt, x ist ebenfalls eine Linie; hat 
x ein negatives Vorzeichen, so zeigt 
dies an, dass die Lichtung von x der 
zuerst angenommenen entgegengesetzt ist. 
Die Construction beider Werthe von 
x in jedem der 4 Fälle ergibt sich leicht 
aus bekannten Sätzen. 
Fall a. Man schlägt über Linie 
AB — p als Durchmesser einen Kreis, 
und trägt an denselben CD = q als Tan 
gente an. Verbindet D mit dem Mit 
telpunkte 0 durch Linie DF, die den 
Fig. 11 
Kreis in E imd F schneidet. Die Werthe 
von x sind dann: 
= DE 
und 
x 2 — — DF. 
Die zweite Wurzel zeigt also, dass die 
zu construirende Linie in einer derjeni 
gen entgegengesetzten Lichtung zu neh 
men ist, welche man anfangs annahm. 
Der Beweis folgt sehr einfach aus 
der Betrachtung, dass ; 
DE-DF-DC*, 
oder 
DE(DE A-p^ — q 2 
ist, was mit der in a gegebenen Form 
übereinstimmt, wenn DE — x gesetzt 
wird. 
Auch kann man setzen: 
DF(DF-p) = q 2 
oder 
-DF{-DF+p)-q 2 , 
was ebenfalls die Form a gibt, wenn 
man 
X= —DF 
setzt. Es sind also DE und —DF die 
Wurzeln der Gleichung. 
Fall b. Die vorige Construction führt 
auch hier zum Ziele, nur ist 
= DF und x 2 = — DE 
zu setzen. Die Gleichungen: 
DF(DF—p) = q 2 , 
DE(DE+p) = q 2 
oder 
-DE{-DE-p) = q 2 
stimmen nämlich unter dieser Voraus 
setzung mit der Form in b) überein. 
Fall c. Man schlägt wieder über 
Durchmesser AB — p einen Kreis, und 
trägt die Linie D — 2q als Sehne hinein, 
Fig. 12. 
fällt vom Mittelpunkt О auf CD das 
Loth OG, welches man bis zur Periphe 
rie nach E und F hin verlängert. Die 
Wurzeln der Gleichung werden dann 
dargestellt durch die Linien: 
x t = —EG und x 2 — —FG. 
Da nämlich 
EG-GF=GD 2 , 
d. h. 
EG{p-EG) = q 2 
oder 
GF(p-GF) = q 2 
ist, so sieht man leicht, dass die Werthe 
—EG und —FG für x gesetzt, der Glei 
chung die Form c) geben. 
Fall d. Die Construction ist, wie in 
c), nur ist 
дг, =-EG, х г — -\-РС 
zu setzen, was die oben gegebene For 
mel ohne Weiteres zeigt. 
Die beiden letztem Fälle lassen sich 
offenbar nur dann auf diese Weise lösen, 
wenn CDS AB, d. h. 2 qSp ist. Ist 
dies nicht der Fall, so hat aber die Glei 
chung nach dem in Abschnitt 4) Gesag 
ten 2 imaginäre Wurzeln. 
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