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tische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 
also DE und —DF die 
leichung. 
! vorige Construction führt 
Ziele, nur ist 
und x 2 — — DE 
i Gleichungen: 
DF-p) = q*, 
DE+p) = q l 
— DE—p) = (¡f 2 
:h unter dieser Yoraus- 
Form in b) überein. 
m schlägt wieder über 
B = p einen Kreis, und 
D = 2q als Sehne hinein, 
Fig. 12. 
dpünkt 0 auf CD das 
is mau bis zur Periphe- 
E hin verlängert. Die 
leichung werden dann 
die Linien: 
und a,- 2 = —EG. 
GE-GD\ 
i—EG) = q 2 
-GF)~q 2 
leicht, dass die Werthe 
für x gesetzt, der Glei- 
c) geben. 
Construction ist, wie in 
:G, x t = +FG 
ie oben gegebene For- 
“s zeigt. 
ztern Fälle lassen sich 
auf diese Weise lösen, 
d. h. 2q=p ist. Ist 
1, so hat aber die Glei- 
n Abschnitt 4) Gesag- 
Vurzeln, 
Selbstverständlich können diese Con- 
structionen vielfacher Abänderung unter 
zogen werden. Auch kann man in den 
Formeln für die Wurzeln der quadra 
tischen Gleichung die einzelnen Theilc 
construiren. 
Wir wollen von den hier gegebenen 
Constructionen indess ein Paar Beispiele 
geben. 
13) A. Es ist ein Quadrat, dessen 
Seite a ist, in ein Rechteck zu verwan 
deln, in welchem die Summe zweier an- 
stossenden Seiten gegeben und gleich 
b ist. 
Auflösung. Bezeichne man die eine 
Seite des Rechtecks mit x, so ist die 
andre b—x, und man hat die Gleichung 
x(b — x)~a : , 
welche genau mit dem Falle d des vo 
rigen Abschnittes übereinstimmt, also in 
der daselbst angegebenen Weise 2 Lö 
sungen ergibt. 
B. Sei aber von dem Rechteck, in 
welche das Quadrat zu verwandeln ist, 
die Differenz c zweier Seiten gegeben. 
Fig. 13. 
Dass auch der Werth x ——DE eine 
Bedeutung habe, ist schon in Abschnitt 
II. dargethan worden. 
D) Es sei ein Winkel ABC und ein 
Punkt D gegeben. Es soll eine Linie 
durch letzteren gezogen werden, welche 
mit den beiden Schenkeln des Winkels 
ABC ein Dreieck von gegebenem Flä 
cheninhalte begrenzt. 
Auflösung I. Der Punkt D liege 
ausserhalb des Winkels ABC. 
Fig. 14. 
Auflösung. Es ist dann 
x (:r + c) = « 2 . 
Der Fall а) findet hier statt, und man erhält 
daher für л: einen positiven und einen 
negativen Werth. Bei dieser Einklei 
dung der Aufgabe ist allerdings der 
letztere zu verwerfen, wenn man nicht 
Betrachtungen über die Richtung der 
Seite des Rechtecks machen will, 
C. Augenblicklich ergibt sich aus 
unsern Constructionen die Lösung der 
Aufgabe des goldnen Schnitts, Es lau 
tet hier die Aufgabe bekanntlich so: 
Eine Linie so zu theilen, dass der eine 
Theil die mittlere Proportionale zwischen 
dem andern Theile und der ganzen Li 
nie ist. 
Auflösung. Ist a die Linie, x 
der gesuchte eine Theil, so ist offenbar: 
x 2 = a(a—x), 
eine Gleichung, die sich leicht umge 
stalten lässt in: 
x(x-\-a)~a 2 . 
Der Fall a) findet also statt. 
Man schlägt über dem Durchmesser а 
einen Kreis, macht Tangente CD an 
demselben gleich dem Durchmesser, Punkt 
D wird mit Mittelpunkt О verbunden 
durch Linie DF, welche die Peripherie 
in E und F schneidet, es ist dann 
x — DE die gesuchte Linie. 
Man ziehe DE parallel AB bis zum 
verlängerten Schenkel AC, ausserdem DF 
senkrecht auf AC. 
Sei nun q der gegebene Flächeninhalt, 
so kann man jedenfalls ein Rechteck be 
stimmen, dessen eine Seite DF, und des 
sen Flächeninhalt gleich q ist. Sei die 
andre Seite dieses Rechteckes gleich GH. 
Ist ferner DC die gesuchte Linie, Da 
nun Dreieck EDC<s) BAC, so hat man, 
wenn man die Flächeninhalte vergleicht, 
EC'DF:2q = EC*:BC 2 , 
d. h. 
DF:2q = EC:BC 2 , 
oder wegen des Werthes von q — GIDDF: 
1-.2GH=EC.BC\ 
d. h. 
BC i = 2EC-GH 
oder 
BC 1 =2{EB+BC)GH-,