Quadratische Gleichungen. 90 Quadratische Gleichungen. 
Quadrai 
in diesem Ausdrucke sind alle Linien 
mit Ausnahme von BC bekannt. Setzt 
man also BC—x, so hat man 
x 2 =2(EB+x) GH 
oder: 
x(x-2GH) = 2EB-GH. 
Das Rechteck, welches zu Seiten hat 
2Eli und GH, kann also in ein Qua 
drat verwandelt, und cs kann dann wie 
in Fall b) verfahren werden. Indcss ist 
diese Verwandlung in ein Quadrat nicht 
erst nothwendig, wenn man folgender- 
massen verfährt: Man schlage mit Ra 
dius GH einen'Kreis, trage 'BE—2GH 
Fig. 15. 
als Sehne in denselben ein. Sei HS die 
selbe. Man verlängert sie um das Stück 
ST—2GH, und verbindet T mit dem 
Mittelpunkte 0, so dass die Verbindungs 
linie den Kreis in U und V schneidet. 
Da nun 
TU- TV— TS- TH 
oder: 
TV(TV-2GH) = 2BE-GII 
Fig. 16. 
Der Fall d) findet statt. Wenn man 
die Verwandlung von 2GH- BE in ein 
Quadrat vermeiden will, so verfährt man 
folgendermassen. 
Es wird ein Kreis mit Radius GH 
geschlagen, und RS — GH + 2BE als 
Sehne hineingetragen, von dieser Stück 
Fig. 17. 
RT—GH abgeschnitten, und Linie UV 
durch T und den Mittelpunkt gezogen, 
welche die Peripherie in U und V schnei 
det, man hat dann UT und VT als 
Werthc von BC. Es ist nämlich 
ist, so sieht man, dass TV=x ist, also 
BC~ TV gemacht werden muss. 
TU würde eine zweite Lösung sein, 
und das negative Zeichen deutet hier an, 
dass von der Verlängerung der Linie 
BC, also nach Richtung BE hin, ein 
Stück abgeschnitten werden muss. 
Auflösung II. Der Punkt D liegt 
innerhalb des Winkels. 
Man ziehe, wie vorhin, DC parallel 
mit AB, und DF senkrecht auf BC wie 
oben; auch habe GH die obige Bedeu 
tung. Es folgt dann wie oben 
BC 2 = 2EC- GH, 
aber diese Gleichung verwandelt sich in 
unserm Falle in die folgende: 
BC 2 =2(BC-BE) GH 
oder 
BC(2GH-BC) = 2GH-BE. 
UT-VT=RT- TS, 
oder 
UT (2GH—VT) — 2BE • GH, 
auch 
VT(2GH- VT)~2BE - GH. 
Es können also hier 2 Stücke BE nach 
derselben Richtung hin abgeschnitten 
werden. 
Die Auflösung der letzten Aufgabe 
machte, ehe man zum Ansatz der qua 
dratischen Gleichung kam, welche die 
Construction bestimmte, verschiedene 
Hülfslinien und geometrische Betrachtun 
gen nöthig. Solches wird in der Regel 
eintreten, wenn man in der angegebenen 
Weise verfährt. 
Man kann aber jede Willkürlichkeit 
der Betrachtungen ausschliessen, wenn 
man sich der analytischen Geometrie 
bedient, und mittelst Einführung recht- 
winkeliger 
handelt. J 
tern Wege 
Regel nichl 
denn überhi 
die direct 
Formeln au 
ergeben. 
Indess n 
Anwendung 
der quadra 
Auffindung 
nichts. bi 
geometrisch 
algebraische 
durch welcl 
tion möglicl 
nie reichen 
Lösung du 
bewerkstelli 
Ist diese ' 
gethan, so 
schem Weg 
structionen 
braische Hü 
den bedeute 
thetischen ( 
14) Höh 
sich oft : 
quadratis 
Betrachte: 
chung 4ten 
x(x-\- 
Dieselbe wr 
Vereinfachui 
alle 4 Facto 
tiplicirten. 
Multiplicir 
und 4ten, 
Factor ents] 
kommt: 
Offenbar kan 
(e—x* — 
offenbar eim 
man die bei 
cienten der 
4 verschiede 
Unsere Gleh 
x a —2ax 1 
Setzt man in 
beliebige Zal 
so wird mi 
Grades erha 
tische reduci: