tische Gleichungen. 
Quadratische Gleichungen. 91 Quadratische Gleichungen. 
Fig. 16. 
idet statt. Wenn man 
g von 2GH- BE in ein 
len will, so verfährt man 
Kreis mit Radius GH 
i RS =. GH + 2BE als 
ragen, von dieser Stück 
Fig. 17. 
[mitten, und Linie UV 
n Mittelpunkt gezogen, 
icrie in U und V schnei- 
dann UT und VT als 
Es ist nämlich 
T=RT- TS, 
-UT) = 2BE-GH, 
■ VT) = 2BE • GH. 
hier 2 Stücke BE nach 
mg hin ahgeschnitten 
£ der letzten Aufgabe 
r zum Ansatz der qua- 
ung kam, welche die 
stimmte, verschiedene 
eometrische Betrachtun- 
ches wird in der Regel 
ran in der angegebenen 
jr jede Willkürlichkeit 
a ausschliessen, wenn 
xnalytischen Geometrie 
ttelst Einführung recht- 
winkeliger Coordinateli die Aufgabe be 
handelt. Jedoch werden auf dem letz 
tem Wege die Constructionen in der 
Regel nicht einfach werden. Wie man 
denn überhaupt nicht glauben muss, dass 
die direct gefundenen und einfachsten 
Formeln auch eine einfache Construction 
ergeben. 
Indess nimmt dies dem Werthe der 
Anwendung der Gleichungen, namentlich 
der quadratischen als Hülfsmittel zur 
Auffindung geometrischer Constructionen 
nichts. Man behandelt nämlich eine 
geometrische Aufgabe zunächst durch 
algebraische Methoden, um zu sehen, 
durch welche Hülfsmittel eine Construc 
tion möglich sei. Kreis und grade Li 
nie reichen hin, wenn die algebraische 
Lösung durch quadratische Gleichung 
bewerkstelligt werden kann. 
Ist diese Möglichkeit dann einmal dar- 
gethan, so wird man sich auf syntheti 
schem Wege nach den einfachsten Con 
structionen umzusehen haben. Das alge 
braische Hülfsmittel aber wird selbst von 
den bedeutendsten und gewandtesten syn 
thetischen Geometern nicht verschmäht. 
14) Höhere Gleichungen lassen 
sich oft auf zwei oder mehrere 
quadratische reduciren. 
Betrachten wir beispielsweise die Glei 
chung 4ten Grades : 
x(x-\-a) (x-\-2a) (x-\-3a) = b. 
Dieselbe würde keiner bemerkenswerthen 
Vereinfachung unterzogen sein, wenn wir 
alle 4 Factoren links mit einander mul 
tipli cirten. 
Multipliciren wir dagegen den ersten 
und 4ten, so wie den 2ten und Sten 
Factor entsprechend mit einander, so 
kommt : 
(x 2 -f-Sfo:) (.r 2 +3ax-j-2a 2 ) = b. 
Offenbar kann man diese Gleichung durch 
die Substitution: 
x 2 +3ax=y 
in eine quadratische 
V (i/ 2 fi 0 — b 
verwandeln. Bestimmt man nun aus 
dieser beide Werthe von y, so wird die 
Hülfsgleiehung, die nach x quadratisch 
ist, zu jedem 2 Werthe von x ergeben, 
so dass dann alle 4 Wurzeln der Glei 
chung 4tcn Grades bekannt sind. 
Dergleichen Gleichungen höherer Ord 
nung, welche zu quadratischen führen, 
lassen sich sehr leicht bilden. Nimmt 
man z. B. 
X 2 -\-UX — V 
und denkt sich die Grössen u und c 
durch die quadratischen Gleichungen: 
m 5 -f- au — b, 
v 2 + cv = e 
bestimmt, und eliminirt aus diesen 3 
Gleichungen u und v, so hat man eine 
höhere Gleichung für x, die nichts desto 
weniger durch 3 quadratische Gleichun 
gen gelöst werden kann. 
Wir wollen diese Elimination hier aus 
führen. Zunächst gibt der Werth von 
v aus der ersten Gleichung in die 3te 
gesetzt: 
{x 2 -\-ux) 2 + c(x 2 + ux) = e 
oder 
%i 2 x 2 + ux(2x 2 -|-c) — e—x 2 (x 2 + c); 
es ist hier nämlich nach Potenzen von 
u geordnet. Die 2te Gleichung wird mit 
x 2 multiplicirt, und hiervon abgezogen. 
Es kommt: 
ux(2x 2 -f c—ax) — e—x‘ > (x 2 -\-c+b'). 
Der hieraus zu bestimmende Werth von 
u kann nun in die 2te Gleichung ein 
gesetzt werden. Das Resultat ist, wenn 
man die Nenner entfernt: 
(e—x 4, —(c + i)* 2 ) 5 -]-ax{e—x x —(c+ 6)« 2 )( 2* 2 —ax-\-c) — bx^föx 2 +c—ax) 1 
offenbar eine Gleichung 8ten Grades, wie dies auch sein muss, denn combinirt 
man die beiden Werthe von m mit den beiden von v, so können die Coeffi- 
cienten der Gleichung 
x 1 -\-ux — u 
4 verschiedene Werthe annehmen, und es werden somit 8 Wurzeln vorhanden sein. 
Unsere Gleichung nach Potenzen von x geordnet hat übrigens die Gestalt: 
a; 8 — 2ax 1 + (2c+66 + « 2 )a: 6 —(3rtc-j-6rt6) ,rS +(c 2 -\-6bc-\-b 2 —2e-(-£i 2 c-)-2ft 2 6)- E ' 1 
-f-(2 ae—3 abc — ac 2 )a; 3 -)-(6c 2 —a' 1 e — 2 be—2ce),r 2 -f-«cea;-(-e 2 =0. 
Setzt man in diese Gleichung für a, b, c, e Selbstverständlich ist dies aber nicht 
beliebige Zahlen oder Buchstabenwerthe, der einzige Weg, um auf solche Glei- 
so wird man also Gleichungen 8ten chungen zu kommen. 
Grades erhalten, die sich auf quadra- Ein andres Mittel wäre es, wenn man 
tische reduciren lassen. in eine Gleichung von der Form