5 
Y ektormultiplikation. 
3. Multiplikation von Vektoren. Skalares Produkt. 
Aus dem Begriff Einheitsvektor und Betrag eines Vektors folgt un 
mittelbar die Regel der Multiplikation eines Vektors mit einem 
skalaren Faktor. Es ist also 
(9) Z — mit, 
wo Z ein Vektor ist, dessen Richtung mit derjenigen von n zu- 
sammenfällt und dessen Betrag ist 
(10) \Z = m a . 
Durch (9) und (10) ist diese Art der Multiplikation voll 
ständig bestimmt. Da sie sich durch nichts von den Regeln der 
gewöhnlichen Algebra unterscheidet, so gilt hier das assoziative 
und kommutative Gesetz, d. h. es ist 
(a) m (n a) = (m n) n, na — an, 
und das distributive Gesetz: 
(b) n{a + 0 = wß -f nt, (m -f- n)a = ma -f na. 
Wir gehen jetzt zu dem skalaren Produkt zweier Vektoren 
über. Unter einem solchen Produkt verstehen wir einen Skalar, 
dessen Wert gleich ist dem Produkt der Beträge der gegebenen 
Vektoren, multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen 
Winkels. Ein solches Produkt zweier Vektoren Z und ß be 
zeichnen wir durch Zß 
Laut Definition haben wir also: 
(11) Zß =|A|-|m|cos(5tiö). 
Hieraus ist leicht zu ersehen, daß 
(c) Zß = ßZ 
ist, d. h. bei der skalaren Multiplikation zweier Vektoren wird das 
kommutative Gesetz befolgt. Auch das distributive Gesetz bleibt 
erfüllt. Aus einer einfachen geometrischen Konstruktion schließt 
man: 
(d) {Z + ß)& = ZV -f tBC. 
Sind Z und ß senkrecht zueinander, dann folgt aus (ll), daß 
das skalare Produkt dieser beiden Vektoren gleich Null ist. Also 
ist für Z _L ß: 
(12) 
Zß = o.