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II. Ditferentialoperationen. 
Wir werden im folgenden an Beispielen den Begriff und die 
Anwendung des Operators V erläutern und dabei einige Beziehungen 
ableiten, die für die Vektoranalysis von fundamentaler Bedeutung 
sind. 
9. Anwendungen des Operators V. Auf Grund unserer 
Definition in Nr. 8 können wir folgende Ausdrücke hinscbreibeu. 
fpdf 
(44) V_p — lim F -=~ 
v= o ' 
JdfZ 
(45) V A = lim F — x — 
F=0 ' 
f[dfz\ ypufj 
(46) [VA] = lim ‘ v — lim 2 
f=.o v f=o v 
Wir sehen zunächst aus der rechten Seite von (44), daß Vy> 
ein Vektor ist, da das Integral eine Summe von Vektoren dar 
stellt. Vorläufig ist das Volumen V vollständig willkürlich. 
Um (44) zu deuten, wollen wir eine durch den konstanten 
Einheitsvektor n 0 bestimmte Richtung im Raume willkürlich 
festlegen. 
Multiplizieren wir (44) vor -dem Übergang zur Grenze 
fpa 0 d f 
icb 
VJ 
mit a n , so erhalten wir rechter Hand 
Dabei ist 
Fig. io. 
die Konstante n 0 unter das Integralzeichen gesetzt worden. 
Als Volumen V nehmen wir jetzt einen Zylinder, dessen 
Erzeugende parallel n 0 ist, und dessen Grund- und Endfläche 
gleich cZ/’und senkrecht zu n 0 sind. Die Höhe des Zylinders 
sei da. Dann ist V = df da (Eig. 10). Auf der Mantelfläche ist 
nach (12) übei’all it 0 cZf=0. Für die Grundfläche erhalten wir 
P = — P d f\ 
weil die Normale zu df entgegengesetzt it 0 gerichtet ist, und für 
die Endfläche 
a 0 dfp = pdf +• l (l P a dadf. 
Die Summe dieser beiden Ausdrücke ergibt das gesuchte Ober 
flächenintegral. Teilen wir es durch V = dfda, und denken wir