APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 4°^ 
Si l’axe des 4 est parallèle à la tangente, -j— est nul, mais 
dF 
ne I est pas, et I on aura 
dF 
Ox 
(X — ¿r) -h. .. h- A( Y — /)'■+.. 
en mettant en évidence, parmi les termes qui ne contiennent 
pas X — x, celui dont le degré en Y —-y est le moindre. 
Cette équation admet r racines infiniment petites données 
par l’expression 
Y 
y ~ 
1 ÈEX(x 
AdJ (X 
x) r a {X. — x) r 
où l’on prendra successivement les diverses déterminations 
i 
du radical (X — x) r . On obtient ainsi un cycle de /■ branches. 
Supposons au contraire [x,p) multiple d’ordre n, et ad 
mettons, pour plus de simplicité, que l’axe des Y ne soit pa 
rallèle à aucune des tangentes en ce point. On aura 
o = F(X, Y) = A 0 (X — x) n + Aj(X — x) n ~ l (Y — y). +... 
H- A «0' /)“ + B 0 (X . ., 
Je coefficient A„ n’étant pas nul. L’équation admet donc n 
racines infiniment petites, données par des séries 
Y / — M t (X — x) ■+■..., ..., Y — y = M„ ( X — x)-+-,.., 
où M ( , . . ., M„ sont les racines de l’équation 
A 0 A, M A„ o, 
qui donne les coefficients angulaires des tangentes. 
Si les racines de cette équation sont toutes inégales, les n 
développements seront séparés dès le début, et ne contien 
dront que des puissances entières. Si, au contraire, plusieurs 
tangentes coïncident, la singularité sera plus complexe, elles 
développements contiendront le plus souvent des puissances 
fractionnaires de X — x. Mais on sait que dans tous les cas 
ils peuvent être associés en cycles en réunissant ceux qui