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à chaque valeur de ce nouveau paramètre u correspondront 
m valeurs de t et précisément celles qui correspondent elles- 
mêmes à un même point (£, r\) de la courbe F; et q, r, étant 
des fonctions algébriques de a, qui n’ont qu’une seule valeur 
pour chaque valeur de u, seront rationnels en u. 
On voit ainsi que, si les coordonnées d’un point d'une 
courbe sont exprimables en fonction rationnelle d’un [»ara- 
mètre, on pourra toujours, en changeant au besoin le para 
mètre, faire en sorte qu’à chaque point de la courbe corres 
ponde une seule valeur du paramètre. 
610. Supposons celte condition réalisée, avec le para 
mètre t, pour une courbe définie par les équations 
£ — r (/), n — R,(0; 
nous allons établir que cette courbe est unicursale. 
Les fonctions R(i), R ( (t) peuvent être supposées réduites 
au même dénominateur. Passant aux coordonnées homo 
gènes, en posant % = r, les équations de la courbe 
pourront s’écrire 
x : y : z : : T, : T 2 : T 3 , 
T,, T 2 , T 3 étant des polynômes en t. 
Par une transformation birationnelle 
x' \y' \ z• ::j\{x,y,z) :/ 2 {x,y, z) s), 
nous pouvons changer la courbe F en une autre F’ de même 
genre yü, n’ayant que des cycles d’ordre i. Les équations de 
cette nouvelle courbe seront de la forme 
0,:0 2 -: 0 3 , 
0,, 0 2 , 0 3 étant de nouveaux polynômes en i. 
Si donc nous posons 
A i xjt) 
A (O 
PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.