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Vierte Abtheilung. 
Die Glieder irgend einer Reihe, von denen das eine aus 
dem anderen nach einem gewissen algebraischen Gesetz be 
stimmbar sei, werden wir allgemein durch 
Uo, Ml, «2, »3, • • • • **,, u. s. f. 
bezeichnen, so dass, wenn wir von der Summe der n er 
sten Glieder sprechen , wobei n auch unendlich gross wer 
den kann, dieselbe gebildet wird durch : 
2 n = «o + % + **2 + **3 + • • • -{- M n . . . (1) 
Bei der geometrischen Progression (45), pag. 59, wo a vor 
derhand =. 1 gesetzt sei, ist z. ß.; 
1—o ll+l 
= (1 + q + 7 2 + • • • q") = JZZq • (“) 
So lange n eine endliche Zahl ist, wird diese Summe auch 
endlich sein. Nimmt man aber n als eine unendlich gross 
werdende Zahl, so wird 
1 -q n+1 _ 1 7 11+1 
1 — q 1 — q 1 — q 
(«,) 
nur dann eine endliche Summe geben, wenn der absolute 
o»+i 
Werth von (i < 1 ist; denn in diesem Falle wird Lim 
1 1 — q 
unendlich klein und kann den Bruch in («,) um kei- 
1—7 
nen noch so kleinen angebbaren Werth ändern, wesswegen: 
Konvergenz der 
geometrischen 
Progression. 
t + 7 + 7 2 + 7 3 + ■ • • in inf. = — (1 - q) l - (2) 
[q < i) • 
Die endlose Reihe heisst im vorliegenden Falle konver 
gent, weil sie eine bestimmte endliche Summe hat, d. h. 
je mehr Glieder man nimmt, um so näher der endlichen 
Grenze 1 : (1 —7) kommt. Ueberhaupt nennt man, wie in 
Definition kon-diesem Beispiel, die allgemeine Reihe (1) konvergent, 
V divergenter" wenn ^ ,c ' immer wachsendem n auch S n sich einem be- 
Reihen stimmten endlichen Werthe als Grenze beständig nähert, 
überhaupt, welche Grenze alsdann die Summe dieser Reihe bildet. 
Im Gegensätze hiezu, ist die Reihe (1) divergent und hat 
keine Summe, wenn S n bei beständig wachsendem n sich