[ VI ] AVERTISSEMENT. 
fondions hyperboliques dans le calcul intégral. On trouvera d’amples 
développements sur ce sujet dans les ouvrages de Gudermann (*) 
et de M. Gronau (**), ainsi que dans divers Mémoires répandus dans 
les Archives de Mathématiques de M. Grunerl. J’ai seulement trans 
crit les formules fondamentales, en les accompagnant d’applications 
numériques à diverses questions de Géométrie et de Mécanique, 
principalement à celles qui conduisent aux transcendantes ellip 
tiques, et où les fonctions hyperboliques jouent un rôle aussi capital 
que les fonctions circulaires. On verra, d’après les cas que j’ai traités, 
de quelle utilité pratique seraient des Tables plus étendues de ces 
importantes fonctions. 
Pour les formules concernant les fonctions elliptiques, j’ai pris 
pour point de départ la théorie des fonctions 3-, sur laquelle sont 
fondées les méthodes les plus simples et les plus directes pour le 
calcul numérique et pour l’étude théorique des transcendantes ellip 
tiques. J’ai consulté principalement les ouvrages de Legendre, de 
Jacobi, de Gudermann (***), de Schellbach (****), q U i sont ceux où 
le point de vue pratique a reçu le plus de développement. 
J’ai conservé autant que possible les notations classiques de l’au 
teur des Fundamenta nova, en les abrégeant un peu, à l’exemple 
de Gudermann, et me conformant seulement, pour les fonctions S-, 
à l’usage, adopté généralement aujourd’hui, de prendre pour argu 
ment de ces fonctions, non plus l’intégrale elliptique u, mais le 
TT U 
produit — • Je n’ai pas cru cependant devoir aller dans celte 
voie aussi loin que l’a fait M. Schellbach dans l’ouvrage cité, et j’ai 
continué à prendre l’intégrale u pour argument des fonctions ellip 
tiques, qui sont les rapports deux à deux des fonctions 9-. 
J’ai désigné provisoirement les intégrales elliptiques de troisième 
espèce au moyen des notations proposées par Gudermann, en y 
ajoutant, par analogie, un symbole pour représenter, au même point 
de vue, en fonction de u et de a, la transcendante H (<p, n) de Le 
gendre. Ces notations provisoires ne m’ont servi qu’à formuler 
brièvement les propriétés essentielles des intégrales de troisième 
espèce. Elles n’offrent guère d’utilité dans la pratique, où l’on rem 
place toujours ces intégrales par leurs expressions au moyen des 
fonctions 3-. 
Ce Recueil de formules est terminé par quelques applications pra 
tiques des fonctions elliptiques, qui montrent bien quelle grande 
simplification on introduit dans les calculs par l’emploi des fonctions 
hyperboliques proposé par Gudermann. J’ai résumé, en faisant usage 
de cette notation, les belles formules du Mémoire de Jacobi sur la 
rotation des corps, et l’on voit sans peine combien ces formules 
(*) Theorie der Potenzial- oder Gyklisch-hyperbolischen Functionen, i vol. in-/}, extrail 
du Journal de Grelle, tomes VI, VII, VIII et IX. 
(**) Tafeln für sammtliche trigonometrische Functionen der cyklischen und hyperbolischen 
Sektoren. Danzig, 1863. 
Theorie und Anwendungen der hyperbolischen Functionen. Danzig, 1865, 
Voy ez aussil’lntroduction des Taróle dei logaritmi de Ile funzioni circolari ed iperboliche, 
dal doll. Ang. f orti. Pisa, 1863. 
(***) 'fheorie der Modular-Functionen und der Modular-Integrale, X vol. in-4, extrait 
des tomes XVIII-XXV du Journal de Grelle. 
(****) Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Theta-Functionen. Berlin, i86/j.