INTRODUCTION. 
[ XXXIII ] 
FORMULES RELATIVES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
§ I er 
Des fonctions S-. 
Soit p un nombre positif, et posons 
(i) q = e~ 2 P, p = i log nat. q. 
Les fonctions S- sont définies par les équations (*) 
! ' S- X = I — 2 q COS 2 X + 2 <7* COS 4-2? — 2Ç 9 C0S6.r -) . . . , 
1 9_ ¿5 
3-,.r = 2 y 4 sin.r — 2ÿ 4 sm"5x -±-iq 4 sin5.r h - • •, 
1 9, 2J. 
S- s .r = 2^f 4 CCS^4- 2^ 4 COS3^+2<7 4 cos5a; +..., 
\ & 3 X = I + 2 q COS 2X + iq* COS4.r + 2(/ 9 C0s6^ +. . .. 
Lorsque la constante q se trouve remplacée par une autre lettre, q' par exemple, 
on la mettra en évidence, et Ton écrira 
s(x : q'), ^{x, q'), ^{x, q'), & 3 {x, q'). 
On a d’abord les relations 
(3) S-{—x) = &x, 9-, (— x) = — & t x, & 2 {—x) = & 2 x, S- 3 (— x] — & 3 x. 
En faisant, pour abréger, 
q 4 C~ xl — g', 
(*) Pour comparer nos notations avec celles de Jacobi, si l’on pose (n° 11) 
2 K 
u — x, 
TT 
TT K' 
2 K 
on aura 
0(u)=3-x, H («) = S-, x. H, ( m) = S', x, 0, («) = S- 3 x, 
et les relations (4) deviendront 
g=q*e 
7VU 
' âT 
0(n) = 0,(K — u) = ig E (u — KO) = — igE t (u -+- K — K'/), 
H (a) = H, (K — u) = ig 0 (« — K'i) = ig®i (u -+- K — K'i), 
etc. 
On en tire (voyez § XI) 
© (o) = 0, (K), H (o) = H, (K) = o, H, (°) — H (K ), 0 f fo)=0(K),