INTRODUCTION. 
[ Lix ] 
i 
La transformation du second ordre ramène immédiatement cette expression à 
la forme 
/(sin 2 ?)—* 
La transformation du premier ordre la ramène à la forme 
x étant une des trois quantités sin«p, cosy, tang<p. Par un artifice connu, on 
décomposera la fonction ^ [x) en deux autres, l’une paire, Tautre impaire. Celle- 
ci, multipliée par donne lieu à une différentielle qui s’intégre par arcs de 
cercles et par logarithmes, en posant 
, ,. dt 
pour 
x = sin <p, 
t = cos 9, 
d’où 
H*' 
>1* 
■el-l* 
11 
pour 
X = COS (fl, 
t — Sin (p. 
d’où 
f(^ 2 ; 
H 
■ 41a- 
hJo 
pour 
x = tang<f>, 
t — COS <p>. 
d’où 
f(^ 2 ] 
xd<D 
4f = 
F [t 
F 
y/V'+P? 
dt 
vA-*v’ 
i — d \ dt 
1 / t^V'+kH* 
La fonction paire de x peut toujours se mettre sous la forme /{sin 2 y), f dési 
gnant une fonction rationnelle. Ôn est donc ramené, dans tous les cas, à une 
différentielle de la forme 
Par la décomposition en fractions simples, cette fonction donnera lieu à des 
termes des formes suivantes : 
kdy A dy Asin 5p 9.i/ip 
Aç ’ (i -f- «sin s çp)Ay’ 
Ai/çp 
Atp ' (i —1— 72 sin 2 ÿ) 17 A, (p 
Dans les deux dernières, on peut réduire les exposants p et q à l’unité. 
i° Soit 
Y, 
_ Ç d( F 
J (x + /2 sin 2 ^)^A<ÿ> 
Par la formule de réduction 
, ,f , i+x- 2 . 
(ay — a) (H f--; 
\ Tr , ..f , 2ÍI + X 2 ) îPl 
)v,-(a ? -3)[_. + -4_> + —Jv,_, 
ii r \ l 1 “l“ k 2 i ^ X 2 ^ k 2 TT 
sin (fl COSip A® 
~ (x H- «sin 2 ip) 9 "' ’ 
on abaissera l’exposant q jusqu’à la valeur i, et l’intégrale proposée \ g dépendra 
alors des intégrales 
J*[i + /zsin 2 <p) Acp n ^' 
v -=/^= F w- 
et des intégrales V_ n V_ 2 , qui se ramènent à des intégrales de la forme 
1 SÍn 2p tp.rX(f) 
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