DE Là GEOMETRIE DE LEGENDRE.
SA:S'A'; :SB:S'B': :SG:S'C'
: : AB ; A'B' ; : AG : A'C' : : BC : B'G'.
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Je dis que ces pyramides sont semblables.
En effet, prenez SD = S'C', et par le point D menez le
plan DEG parallèle au plan ABC ; vous verrez facilement
que la pyramide SDEG est égale à la pyramide S'A'B'C'.
Donc A'B'S' = DES, A'S'G' = DGS.
De plus, le dièdre SD ou SG est égal au dièdre S'G'.
Mais les faces SBC, SDE, ASG, GSD sont semblables
deux à deux; donc il en est de même des faces SBC, S'B'G',
ASG, A'S'G'; donc les deux pyramides SABC, S'A'B'G' ayant
un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables,
chacune à chacune, sont semblables.
Remarque. Cette réciproque n’a pas lieu si les deux pyra
mides données étaient polygonales; et, en général, cette ré
ciproque est fausse s’il s’agit de deux polyèdres quelconques.
PROPOSITION XXVI. »
RÉCIPROQUE.
Si deux pyramides triangulaires S , S' sont entre
elles comme les cubes des deux arêtes homologues
quelconques, elles sont semblables.
Soient a, b, c; d, e,/"; a', b', c', d', e\f les arêtes homo
logues des deux pyramides S et S'. On a par hypothèse :
S : S' : : a 3 : a' 3
S:S': :b 3 :b' 3
S : S' : : c 3 : c' 3
etc.
D’où l’on tire :
«° : a' 3 : : h 3 : b' J : : c 3 : c' J ; : d^ : r/' 3 : : etc.