Full text: Traité des réciproques de la géométrie élémentaire de legendre, suivi de notes et d'un appendice à l'usage des candidats aux Écoles Polytechnique, Normale, Forestière, Navale, Militaire de Saint-Cyr, etc.

DE Là GEOMETRIE DE LEGENDRE. 
SA:S'A'; :SB:S'B': :SG:S'C' 
: : AB ; A'B' ; : AG : A'C' : : BC : B'G'. 
>7- 
Je dis que ces pyramides sont semblables. 
En effet, prenez SD = S'C', et par le point D menez le 
plan DEG parallèle au plan ABC ; vous verrez facilement 
que la pyramide SDEG est égale à la pyramide S'A'B'C'. 
Donc A'B'S' = DES, A'S'G' = DGS. 
De plus, le dièdre SD ou SG est égal au dièdre S'G'. 
Mais les faces SBC, SDE, ASG, GSD sont semblables 
deux à deux; donc il en est de même des faces SBC, S'B'G', 
ASG, A'S'G'; donc les deux pyramides SABC, S'A'B'G' ayant 
un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables, 
chacune à chacune, sont semblables. 
Remarque. Cette réciproque n’a pas lieu si les deux pyra 
mides données étaient polygonales; et, en général, cette ré 
ciproque est fausse s’il s’agit de deux polyèdres quelconques. 
PROPOSITION XXVI. » 
RÉCIPROQUE. 
Si deux pyramides triangulaires S , S' sont entre 
elles comme les cubes des deux arêtes homologues 
quelconques, elles sont semblables. 
Soient a, b, c; d, e,/"; a', b', c', d', e\f les arêtes homo 
logues des deux pyramides S et S'. On a par hypothèse : 
S : S' : : a 3 : a' 3 
S:S': :b 3 :b' 3 
S : S' : : c 3 : c' 3 
etc. 
D’où l’on tire : 
«° : a' 3 : : h 3 : b' J : : c 3 : c' J ; : d^ : r/' 3 : : etc.
	        
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