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DEUXIÈME PARTIE. 
CHAPITRE III. 
) \ y OC o y ••• y OC / £ qui correspondent aux anciens systèmes de 
valeurs que l’on devait assigner à x t , x 2 , . . ., x n . 
145. H y a toutefois une remarque essentielle à faire sur 
le signe de cette expression. 
Dans chacune des n sommations successives par lesquelles 
on détermine la valeur de l’intégrale multiple I, il est taci 
tement convenu qu’on fait croître la variable d’intégration de 
sa valeur minimum à sa valeur maximum. Si on la faisait 
varier en sens contraire, l’intégrale changerait évidemment de 
signe. 
Or, lorsque x K croît de a à (3, varie dans le même sens 
que x, ou en sens contraire, suivant que «L est positif ou 
négatif. Si donc nous voulons conserver, dans le calcul de 
l’intégrale multiple transformée, la même convention que 
dans l’intégrale primitive, il faudra, si J, est négatif, changer 
le sens de la variation de y K et, par compensation, changer 
le signe de la fonction à intégrer. La formule de transforma 
tion sera donc 
146. Supposons maintenant qu’on veuille trouver la trans 
formée de l’intégrale multiple 
lorsque l’on y remplace toutes les variables indépendantes x t , 
x 2 , ■ • •, x n par de nouvelles variables y,, y 2 , ..., y n . Pre 
nons successivement pour variables indépendantesy t , x 2 , ..., 
x,i, puis y y 2 , x 3 , ..., x n , etc. ; et soient J t lejacobien de 
x { , x-2, ..., x n par rapport ày t , x 2 , ■ ■ ■, x n ; J 2 celui de y t , 
x-2, x 3 , ■ ■ ■, x n par rapport à y, ,y 2 , x 3 , ..., x u , etc. ; enfin 
.1 celui de x K , x 2 , ..., x n par rapport à y K , y 2 , ..., y n . 
On aura (Calcul différentiel, n° 60) 
J = J, J 2 . .