5 25. Ein specieller Kegelschnittsbüsche].
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7. Auch diese Sätze gehen sehr leicht aus der Gleichung (3)
hervor. Damit der Punkt (x') der Pol der Geraden:
(5) b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0
in Bezug auf die Kurve (2j sei, mufs sein:
(6) ^ aj x x* ; JZ a 2 x x* = b^ : b 2 .
Die Pole der Geraden (5) liegen also in einer Geraden, welche
durch den Pol der Doppelgeraden hindurchgeht. In die Gleichung
(6) tritt der Koefficient b 3 der ersten Geraden nicht ein; also
enthält die gefundene Gerade (6) die Pole zu allen geraden Linien,
von denen die Doppelgerade in demselben Punkte geschnitten
wird.
Der Berührungspunkt der Geraden (5) mit einer Kurve des
Büschels mufs nicht nur der Gleichung (6), sondern auch der
Gleichung bixL + b 2 x 2 '-f-b 3 x 3 '= 0 genügen; es giebt also nur
einen einzigen solchen Punkt.
8. Hiernach hat der betrachtete Büschel auch die Eigenschaften
einer Schar. In der That kann man die durch die Gleichung (2)
bestimmte Kurve in Linienkoordinaten darstellen, indem man in
der Gleichung (9) (§ 14, 10 S, 89) den Koefficienten a 33 durch
a 3 3 ersetzt. Auch in diese Gleichung tritt ¡x nur linear ein;
die neue Gleichung stellt also eine Kurvenschar dar.
9. Falls die Gerade x 3 = 0 die erste Kurve (1) nicht berührt,
gehört der gemeinschaftliche Pol dieser Linie ihr nicht an. Die
Kurven des Büschels haben mit der Geraden x 3 = 0 dieselben
beiden (reellen oder imaginären) Punkte und in ihnen die Tan
genten gemeinschaftlich; sie gehen eine doppelte Berührung ein.
Gehört der Punkt a auf der Doppelgeraden (Fig. S. 168) der
ersten Kurve (1) nicht an, so geht die gemeinsame Polare jrß
desselben durch ihn nicht hindurch. Da jetzt auch jia die gemein
schaftliche Polare des Punktes ß ist, so ist das Dreieck jt a ß
Polardreieck zu allen Kurven des Büschels. Der Büschel besitzt
unendlich viele gemeinsame Polardreiecke. Wählt man ein solches
zum Koordinatendreieck, so ist die Gleichung der ersten Kurve:
«i7i + « 2 y| + « 3 y| = 0,
wo y 3 = x 3 ist. Demnach kann man den Büschel auch in der
Form darstellen:
+ « 2 yi + v y
