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§ 28. Die projektive Erzeugung der Kegelschnitte. 
in seinem Endpunkte und eine weitere Tangente; man konstruiere 
weitere Tangenten. 
d) Von einer Hyperbel kennt man die Asymptoten und eine 
Tangente; weitere Tangenten zu konstruieren. 
3) Wenn ein Dreieck sich so bewegt, dafs die Eckpunkte 
in festen Geraden verbleiben und zwei Seiten sich um feste Punkte 
drehen, so umhüllt die dritte Seite einen Kegelschnitt. 
4) Ist ein Dreieck einem Kegelschnitt umbeschrieben, so 
gehen die Verbindungslinien von je einer Ecke mit dem Berüh 
rungspunkte der Gegenseite durch einen Punkt. 
5) Um einen Kegelschnitt ein Dreieck zu beschreiben, dessen 
Eckpunkte der Reihe nach in vorgeschriebenen Geraden liegen. 
§ 28. 
Die projektive Erzeugung der Kegelschnitte. 
1. Um vermittelst des Pascalschen Theorems sämtliche Punkte 
des durch die fünf Punkte a, ß, y, d, e bestimmten Kegelschnitts 
zu konstruieren, kann man (Figur S. 173) den Punkt n alle Lagen 
auf der Geraden ßy annehmen lassen. Da der Punkt X als Schnitt 
punkt von aß und de bekannt ist, findet man den Punkt v als 
Schnittpunkt von Xfi mit yd; alsdann ist der Schnittpunkt von av 
und efi ein weiterer Punkt der Kurve. 
Nun erzeugt fi auf ßy eine Punktreihe. Da fi und v mit 
dem festen Punkte X in gerader Linie liegen, so ist die Punkt 
reihe v zu der Punktreihe perspektivisch; also sind die Strahlen 
büschel (av) und {efi) projektivisch. 
Jeder Kegelschnitt kann erzeugt werden durch den 
Schnitt entsprechender Strahlen in zwei projektiven 
Strahlenbüscheln. 
2. Wir wollen diesen Satz rein analytisch beweisen. Der 
eine Strahlenbüschel werde durch die Gleichung dargestellt: 
A + XB = 0, 
wo A und B homogen lineare Ausdrücke in x t , x 2 , x 3 sind. Ein 
zweiter Strahlenbüschel werde so gewählt, dafs dem Strahle A = 0 
des ersten im zweiten der Strahl A' = 0 und dem Strahle B = 0 
der Strahl B' == 0 entspricht; dann verfügt man über die in der 
Form B' enthaltene Konstante in der Weise, dafs dem Strahle