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Blatt 35. 
Blatt 35. 
Durchdringung zweier Kegel. 
Mit Verwendung von Ebenen, welche durch die 
Spitzen beider Kegel gehen. 
Es sind in Fi g- 1 zwei schiefe elliptische Kegel vor 
handen, welche beide kreisförmige Querschnitte besitzen. 
Um dieselben in ihren P. P. zeichnen zu können, muß 
man bei dem gelben Kegel von seiner 3. P., bei dem blauen 
von seiner 4. P. ausgehen. 
Bei dem gelben Kegel ziehen wir zunächst nach Maßen 
die 2. A. und tragen auf ihr ein Stück b 3 h 3 — 100 mm 
an, welches die 3. P. der Bodenfläche wird. Nun folgt nach 
Maßangaben das Aufträgen des Punktes s 3 als 3. P. der 
Kegelspitze. 
Für die 1. P. tragen wir auf den Punkt s x , die 1. P. 
der Kegelspitze, und die Gerade b x s x , in welche die 1. P. P. 
der Kegelachse os sowie der Mantellinien bs und hs fallen. 
Verbinden wir s 3 mit b 3 und h 3 , so ist das Dreieck 
b 3 h 3 s 3 die 3. P. des Kegels. In dieses Dreieck ziehen 
wir nach Maßen die Strecke b 3 li 3 ' ein, welche die 3. P. des 
kreisförmigen Querschnittes bedeutet. 
Wir denken uns diesen Querschnitt in die 3. T. um 
geklappt und teilen seinen Umfang in zwölf gleiche Teile 
(die Punkte a° bis m°). Bringen wir diesen Kreis (mit Mittel 
punkt n°) wieder in seine richtige Lage (-L zur 3. T.) und 
bestimmen auch seine 1. P. (die Ellipse um n x )* ** , so können 
wir uns Mantellinien des Kegels, durch die Punkte a bis 
m gehend, vorstellen und sind im stände, ihre 3. und 1. P. P. 
zu ziehen. Wir erkennen von ihren 1. Sp. Sp. die 3. P. P. 
(in der 2. A.) und ermitteln auch deren 1. P. P. 
Die Verbindung der 1. Sp. Sp. a bis m dieser Mantel 
linien mittelst einer Ellipse liefert die Bodenfläche des gelben 
Kegels. Zieht man von s x aus Tangenten an diese Ellipse, 
so ist die 1. P. des gelben Kegels vollständig. Aus der 1. 
und 3. P. können wir in bekannter Weise seine 2. P. ge 
winnen. 
Hinsichtlich des blauen Kegels verfahren wir wie folgt: 
Zuerst sind nach Maßen die 3. A., die Strecke 5 4 — 11± = 
60 mm als 4. P. der Bodenfläche, 1 A als 4. P. der Spitze, 
als deren 1. P. und l x — 15 x als 1. P. der Kegelachse an 
zutragen. Mit dieser fallen auch die 1. P. P. der Mantel 
linien 5—1 und 11—1 zusammen. 
Verbinden wir J 4 mit ö 4 und Xi 4 , so ist Dreieck 5 4 JJ 4 J 4 
die 4. P. des blauen Kegels. In dieses Dreieck ziehen wir 
nach Maßen die Strecke 5/— 11 /, d. i. die 4. P. des kreis 
förmigen Querschnittes, ein. Klappen wir diesen in die 
4. T. um, so erscheint er wirklich als Kreis (mit dem Mittel 
punkt 14’). 
Eine Einteilung seines Umfanges liefert die Punkte 2° 
bis 13°. Richten wir ihn wieder J_ zur 3. T. auf und kon 
struieren auch seine 1. P. :: " :: , nämlich die Ellipse um 14 x , so 
* Dabei sind die Abstände der einzelnen Ellipsenpunkte in 
1. P. von der kleinen Achse b x h x gleich den Abständen der Kreis 
punkte (in 3. P. in Umklappung) von der 3. P. des Kreisschnittes zu 
machen, z. ß. e x n x = e°n° (bezw. n 3 ), l x n x = l°n° (bezw. n 3 ) u. s. w. 
** Dabei sind die Abstände der Ellipsenpunkte von der kleinen 
Achse 5 X ll x gleich den Abständen der Kreispunkte in Umklappung 
von der 4. P. des Kreises zu machen, z. B. 3/ bis 5 X 44/ = 3° 3 4 ' 
8/ bis 5j 'll x = 8°8 4 ' u. 8. w. 
können wir uns von der Spitze 1 aus nach diesen Teil 
punkten hin die Mantellinien gezogen denken, von welchen 
wir die 4. P. P. und auch die 1. P. P. zu ziehen im stände 
sind. Bedenken wir, daß sich auf der 3. A. die 4. P. P. der 
1. Sp. Sp. dieser Mantellinien zeigen, so sind wir auch in 
der Lage, die 1. P. P. dieser 1. Sp. Sp. anzugeben. 
Ihre Verbindung mittelst einer Kurve giebt die Boden 
fläche des blauen Kegels. Tangenten von l x an den Umfang 
der Ellipse vervollständigen seine 1. P. Aus der 1. und 
; 3. P. erhalten wir die 2. P. dieses Kegels. 
Die geometrischen Mittelpunkte der beiden Bodenflächen- 
Ellipsen sind o und 15; die Achsen beider Kegel sind os 
und 15 — 1. Wir beobachten, daß die Achse os des gelben 
Kegels nicht durch den Mittelpunkt n des Kreisschnittes 
geht; ebensowenig geht auch bei dem blauen Kegel die Achse 
15—1 durch den Mittelpunkt 14 seines Kreisschnittes. Die 
Mantellinien, welche in der 1. P. des gelben Kegels die Bild 
kontur’bilden, müssen auch die l.P. seines Kreisschnittes, 
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nämlich die Ellipse um n x , berühren; gleichfalls müssen 
auch in der 1. P. des blauen Kegels die seine P. begrenzenden 
1. P. P. der betreffenden Mantellinien die 1. P. seines Kreis- 
1 Schnittes, nämlich die Ellipse um 14', berühren. 
Wir haben nun die beiden Kegel durch ihre P. P. ge 
zeichnet und haben auf jedem von ihnen ein S}^stem von 
Mantellinien konstruiert. Deshalb können wir beide Kegel 
als zwei schiefe zwölfseitige Pyramiden auf fassen und den 
vorliegenden Fall auf jenen des Blattes 30 zurückführen. 
Wir verbinden daher beide Kegelspitzen 1 und s und 
suchen von 1 — s die 1. Sp. t , welche wir als Schlüsselpunkt 
benutzen. Nun suchen wir in bekannter Weise die Schnitt 
punkte der Mantellinien des gelben Kegels mit der Mantel 
fläche des blauen. Jede schneidende Mantellinie liefert da 
bei zwei Punkte, so as die Punkte I und XV, bs die 
Punkte II und XIV, cs die Punkte III und XIII, cls die 
Punkte IV und XII, es die Punkte V und Xi, fs die 
Punkte VI und X und gs die Punkte VII und IX. 
Verbindet man die sich hierbei ergebenden vierzehn 
Durchdringungspunkte in beiden P. P. in gehöriger Weise 
miteinander, so erhält man die Durchdringungskurve in 
beiden P. P. 
Dabei ist noch Folgendes zu beachten: Zieht man vom 
Schlüsselpunkt t eine Berührungslinie an den Umfang der 
Bodenfläche des blauen Kegels, so berührt sie dieselbe in p 
und schneidet den Umfang der Bodenfläche des gelben Kegels 
in den Punkten q und r. Die Mantellinien pl, qs und rs 
beider Kegel schneiden sich deshalb und zwar in den Punkten 
VIII und XVI 
Alle weiter nach vornen liegenden Mantellinien hs, is, 
hs, Is und ms des gelben Kegels treffen den blauen Kegel 
nicht, gehen an ihm vorbei und liefern keine Durchdringungs 
punkte. 
Zieht man eine Berührungslinie vom Schlüsselpunkte 
nach dem Umfang der Bodenfläche des gelben Kegels, welche 
diesen in u berührt, so schneidet sie den Umfang der Boden 
fläche des blauen Kegels in v und w. Die zugehörigen 
Mantellinien us, vl und wl beider Kegel schneiden sich 
demnach und zwar in Punkten zwischen III und IV, sowie 
zwischen XII und XIII. Bei der Abwickelung werden wir 
auf diese Punkte, sowie auf die Punkte VIII und XVI, 
i die alle ein besonderes Interesse erregen, zurückkommen.