186 Zweiter Abschnitt: Der «-fach ausgedehnte Raum. 
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und das Krümmungsgebilde sei durch konstante Werte der 
letzten n — 2 Grössen t 2 ... t n bestimmt. Dann besteht das 
selbe aus 2 n ~ 3 getrennten Zweigen: x A ^ 0, ... x n ^ 0. In 
jedem Zweige giebt es vier Fokalpunkte (Nabelpunkte): x 2 •= 0, 
< 0 7 x 3 ^0, und es gelten die Sätze: 
Eine kürzeste Linie, welche durch einen Fokalpunkt geht, 
geht auch durch den gegenüberliegenden; das zwischen zwei 
gegenüberliegenden Fokalpunkten gelegene Stück ist für alle 
hindurchgehenden kürzesten Linien von gleicher Grösse. 
Zieht man von einem Punkte einer Krümmungslinie 
kürzeste Linien nach zwei (nicht gegenüberliegenden) Fokal 
punkten, so ist die Summe oder Differenz derselben für alle 
Punkte der Krümmungslinie konstant. 
Die Punkte, in denen sich zwei kürzeste Linien, deren 
erste eine Krümmungslinie h t und deren zweite eine Krüm 
mungslinie b 2 berührt, rechtwinklig schneiden, liegen auf dem 
Gebilde t 2 == h 1 h 2 , oder auf dem Schnitt der gegebenen 
Krümmungsiläche mit dem quadratischen Gebilde 
x \ (l + p~) + • • • (l + -p ) = const. 
welches für den Euklidischen Raum eine Kugel ist. 
Schlingt man um eine Krümmungslinie einen Faden und 
spannt ihn durch einen Stift auf der zweifach ausgedehnten 
Krümmungsfläche, so beschreibt der Stift eine Krümmungs 
linie derselben Art. 
Ebenso gelten für ein dreidimensionales Krümmungs 
gebilde unter anderm folgende Sätze: 
Spannt man einen Faden, welcher in zwei Punkten einer 
im gegebenen Krümmungsgebilde enthaltenen Krümmungs 
fläche befestigt ist, durch einen Stift auf einer zweiten zu 
gehörigen Krümmungsfläche, so dass er aus’kürzesten Linien 
des gegebenen dreidimensionalen Krümmungsgebildes und der 
beiden Krümmungsflächen besteht, so beschreibt der Stift eine 
Krümmungslinie. 
Die Summe oder Differenz der kürzesten Abstände, welche 
ein Punkt P einer zu einem dreidimensionalen Krümmungs- 
O 
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