§ 9. Die Krümmungsgebilde einer quadratischen Schar. 103. 104. 
gebilde gehörigen Fokalkurve von irgend zwei fest gewählten 
Punkten der andern Fokalkurve hat, ändert sich nicht, wenn 
der Punkt P auf seiner Fokalkurve bewegt wird. 
Im dreidimensionalen Krümmungsgebilde ist der kürzeste 
Abstand zweier auf konfokalen Krümmungsflächen gelegener 
Punkte ebenso gross, wie der Abstand der konjugierten Punkte 
(das Wort „ konjugiert “ in der Bedeutung des Art. 102 ge 
nommen). 
In derselben Weise kann man fortfahren und Sätze des 
vierdimensionalen und höheren Raumes auf Krümmungsgebilde 
einer quadratischen Schar übertragen. Dabei möge indessen 
folgender charakteristische Unterschied beachtet werden: Im 
Raume kann man das konfokale System beliebig wählen; auf 
einem solchen Krümmungsgebilde ist es von vornherein ein 
deutig und vollständig bestimmt. 
104. Um zum Schluss einen Joachimthalschen Satz zu 
verallgemeinern, gehen wir auf die Formel 22) zurück: 
Q *tcmco -m- 
In dieser Gleichung kommt auf beiden Seiten der Faktor 
t — r„ vor (für v = m + 1... n). Wir sondern diesen Faktor 
beiderseits ab und geben dann t den Wert x v . Nun hat 
nach y) (S. 170) den Faktor t — r„; somit fällt das erste Glied 
der Gleichung 22) bei der angegebenen Operation weg. Im 
zweiten Gliede wird der Faktor von t — x v durch die Glei 
chung ß) (S. 170) bestimmt, während q) t (f) durch t — x v nicht 
teilbar ist. Demnach liefert die angegebene Operation die 
Gleichung: 
33) 
X»2 rp 2 /y> 2 
fr , , 
l(r v +Vf + (r 
•+ 
x n 
lc 2 x' 
J 2 
, + ••• + 
{Ty—dnfj Lr v +Jc 2 x r —a n J 
(x y — r m + i) ... (x v — x n )(x v — & x )...(x v — & m _i) 
f\r v ) 
Die rechte Seite dieser Gleichung ist nicht nur für dieselbe 
kürzeste Linie konstant, sondern ändert sich auch nicht, wenn 
man die gegebene kürzeste Linie durch eine andere ersetzt, 
welche dieselben Krümmungsgebilde berührt. Die geometrische