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Zweiter Abschnitt: Der w-fach ausgedehnte Raum.
Bedeutung ist für Euklidische Raumformen hei beliebigem n
dieselbe, welche Joacbimstbal für n = 3 angegeben bat. Ist
also p v der Abstand des Mittelpunktes von der Ebene, welche
das Gebilde F v im Punkte x berührt, und D v der Halbmesser
von F v , welcher zu der Tangente parallel ist, so ist der rezi
proke Wert der linken Seite gleich p v 2 D,?‘, also gilt der Satz:
Wenn in einem Euklidischen Räume ein m- dimensionales
Krümmimgsgebilde durch den Schnitt von n — m honfokalen
quadratischen Gebilden F m+1 ...F n gegeben ist, so konstruiere
man in einem Funkte einer kürzesten Linie von K m eine Tan
gentialebene an F t , für n = m 1, m -f 2 ... n und bezeichne
deren Abstand vom Mittelpunkte mit p,.; ebenso ziehe man den
zu der Tangente an die kürzeste Linie parallelen Halbmesser
D„ von F,.; alsdann ist das Produkt p,. D,. nicht nur für die
kürzeste Linie konstant, sondern auch für alle kürzesten Linien
von K m , welche dieselben m — 1 Krümmungsgebilde berühren.
Weniger einfach ist die geometrische Bedeutung für die
Nicht-Euklidischen Raumformen, aber immerhin noch leicht
zu übersehen. Ist im Punkte x eine Tangentialebene an das
Gebilde F v gelegt und darauf im Berührungspunkte die Senk
rechte errichtet und wird das im Gebilde F v enthaltene Stück
dieser Senkrechten mit 2p r bezeichnet, so ist der erste Faktor
der linken Seite gleich i cotg 2 4^-* Um den zweiten Faktor
rC lv
geometrisch zu deuten, errichte man auf der Tangente in x
eine senkrechte Ebene E, bestimme zu dem Schnittgebilde
den innerhalb des Gebildes gelegenen Mittelpunkt M v und er
richte in M r auf E eine Senkrechte, welche das Gebilde in
A v und JBy trifft; dann ist der zweite Faktor gleich
cos
MA r
~~k~
k 2 sin
MB V
• COS 7
2 A v By
~2k~
Daraus ergieht sich, welche Veränderungen an der obigen
Form des Joachimsthalschen Satzes anzubringen sind, wobei
jedoch der Frage Platz gegeben werden mag, ob der zweite
Faktor in der That seine einfachste Deutung gefunden hat.
