§ 10. Die Raumkurven. 105. 
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§ 10. Die Raumkurven. 
105. Als eigentliche Raumkurven eines n-dimensionalen 
Raumes betrachten wir nur diejenigen, welche nicht in einer 
(n — 1)-dimensionalen Ebene enthalten sind. Wir können die 
selben auch Kurven (n — l)-facher Krümmung nennen, welchen 
Namen folgende Betrachtung rechtfertigt. 
Durch zwei unendlich nahe Punkte der Kurve kann man 
eine einzige Gerade legen, die Tangente; durch drei unendlich 
nahe Punkte eine zweidimensionale Ebene u. s. w. Schliesslich 
geht durch n unendlich nahe Punkte eine (n — 1)-dimensionale 
Ebene. Wir definieren als m-fach ausgedehnte Schmie- 
gungsehene eine Ebene von der angegebenen Ausdehnungszahl, 
welche durch m+1 unendlich nahe Punkte der Kurve hindurchgeht. 
Wir lassen die Kurve dadurch bestimmt sein, dass die 
Koordinaten als Funktionen einer Yariahelen t gegeben sind: 
1) *o = Voi*), cpi(f) ...x = cp (f), 
wo die Ableitungen nach La gran ge scher Weise bezeichnet 
werden sollen. Damit ein Punkt x auf der Tangente des 
Punktes t liegt, müssen die Gleichungen bestehen: 
2) x x = ^cp x {t) + iL <p'*(0- (x = 0, 1... n) 
Entsprechend müssen die Koordinaten x eines Punktes, 
welcher auf der m-dimensionalen Schmiegungsebene des Punktes 
t liegt, den Gleichungen genügen: 
3) x y . = cpy(0 + cp'ySf) + H h [imqpx (m) (0, 
o = 0, 1... n), 
wo zwischen den Grössen p. eine quadratische Gleichung besteht. 
Den Winkel, welchen zwei unendlich nahe w?-dimen 
sionale Schmiegungsebenen miteinander bilden, dividiert durch 
das Bogenelement, bezeichnet man als die m te Krümmung 
einer Raumkurve. Wir setzen diesen Winkel gleich w m , das 
Bogeuelement gleich ds, und die m ie Krümmung gleich K m ] 
dann ist: 
J m ds 
Eine eigentliche Raumkurve hat daher, weil im allge 
meinen die m-fach ausgedehnten Schmiegungsebenen an zwei