190 Zweiter Abschnitt: Der w-fach ausgedehnte Raum. 
unendlich nahe Punkte nicht zusammenfallen, n — 1 Krüm 
mungen. 
Um den analytischen Ausdruck für die verschiedenen 
Krümmungen zu finden, stützen wir uns auf folgenden Hülfs- 
satz: 
Der Abstand r eines Punktes x m+l von derjenigen m- di 
mensionalen Ebene, welche durch die m -f-1 Punkte x°, x 1 ...x m 
geht, ergiebt sich aus der Gleichung: 
5) 7c 2 sin 2 — = ^ — r W r n • ’ • + 1 _ j r aß \ > 
^ ^ i ^00Gl • • • ^mm |r yc y| 
wenn zur Abkürzung gesetzt wird: 
6) n z = & 2 x 0 '- + x x l x^ + (- X n l X„ x , 
und wenn die a, ß in der Determinante des Zählers sich über 
die Zahlen 0, 1 . ..m, m-f 1, die y, d im Nenner sich über 
die Zahlen 0, 1... m erstrecken. 
Der einfache Beweis dieses Hülfssatzes kann in folgender 
Weise geführt werden. 
Ein Punkt £ liegt auf der durch die ersten m-fl Punkte 
bestimmten Ebene, wenn ist: 
Ij* === Po 'X'x “f* Pi Xy -f • • • -f Pm Xy 11 , 
wo zwischen den Grössen p die Gleichung besteht: 
2r tx p t p x = 7c 2 . (c, x = 0, 1... m) 
Die Entfernung r des Punktes x m + l vom Punkte £ er 
giebt sich demnach aus der Gleichung: 
^ + l Po "h G > w* + 1 Pl “f" ' ' ‘ “k , m -j-1 Pm- 
Soll r ein Minimum sein, so müssen die Gleichungen be 
stehen : 
r 0y mJ r 1 M(r wPo -f r 0lPl -f • • • -f r 0m p m ) = 0, 
^m,m-(-1 -M- (PmoPo ^m\P\ ~f ‘ ' ‘ ~f ^mm Pm) == Oj 
Y 
wo M = cos ~r ist. Berechnet man aus diesem Gleichungs 
system PofPl ...p m und setzt deren Werte in die vorangehende 
Gleichung, so folgt: