§ 4. Der Kreis. 21. 22. 
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Jede solche Linie nennt Lobatschewsky eine Grenz 
linie. Sie kann durch die zuletzt genannte Eigenschaft als 
diejenige Linie definiert werden, welche die zu einer gegebenen 
Richtung parallelen Geraden rechtwinklig schneidet. 
Da zwei eigentliche Kreise in ihrer Centrale eine gemein 
schaftliche Achse haben, so untersuchen wir, ob diese Eigen 
schaft auch zwei beliebigen Grenzlinien zukommt. Wenn die 
Gleichungen derselben sind: 
so werden die Achsen erhalten, wenn man die linken Seiten 
gleich Null setzt. Die Gerade, deren Koordinaten proportional 
k 2 (ah 1 ), {he'), {ea') sind, ist eine gemeinschaftliche Achse. 
Diese Gerade ist aber reell, da 
k 2 {ah') 2 -f (be 1 ) 2 + (ea') 2 = k 2 
und infolge der Bedingung für die Grenzlinie auch gleich: 
also für ein negatives k 2 positiv ist. Daraus folgt: 
Zu zwei Richtungen, welche einander nicht entgegen 
gesetzt sind, giebt es stets eine, und zwar eine einzige, ge 
meinschaftliche Parallele. 
22. Bezeichnen wir den Ausdruck ep + ax + hy — 1 kurz 
mit K, den Ausdruck e x p -f a x x -f h x y — 1 mit K 1} ent 
sprechend ep' ax' + • • • mit K'. Dann ist K = 0 für ver 
änderliche Werte von p, x, y die Gleichung eines Kreises im 
allgemeinen Sinne; in der Lobatschewsky sehen Ebene wird 
ein Punkt p', x', y' ausserhalb des Kreises liegen, wenn 
K < 0 ist, dagegen im Innern für AT> 0. Ferner stellt 
kK + h x K x = 0 einen Büschel von Kreisen dar. Die sämt 
lichen Kreise gehen durch dieselben Punkte und haben die 
selbe Potenzlinie K — K x = 0. Durch jeden Punkt {p' } x', y') 
geht eine einzige Kreislinie des Büschels, deren Gleichung ist: 
9) 
K\K~ K'K X = 0. 
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