38 Erster Abschnitt: Der Raum von drei Dimensionen. 
(dreifach ausgedehnten) Raume eine gerade Linie so, dass sie 
immer durch einen festen Punkt geht und mit einer durch 
denselben Punkt gehenden festen Geraden einen konstanten 
Winkel bildet. Schneidet man die so entstandene Fläche 
durch irgend eine Ebene, so kann man zwei (resp. vier) 
Kugeln konstruieren, welche den Kegelmantel und die Schnitt 
ebene berühren. Für die Berührungspunkte mit der Ebene 
gilt die charakteristische Eigenschaft der Brennpunkte: die 
Summe oder Differenz der Abstände eines jeden Punktes der 
Kurve von den beiden Berührungspunkten ist konstant. Der 
bekannte Beweis dieses Satzes gründet sich auf die Gleichheit 
der Tangenten, welche von einem Punkte aus an eine Kugel 
gelegt werden können; er erleidet also in den Nicht- 
Euklidischen Raumformen keine Änderung. 
Demnach kann der Kegelschnitt als ebene Kurve definiert 
werden durch die Eigenschaft, dass für jeden seiner Punkte 
die Summe oder Differenz der Abstände von zwei festen 
Punkten konstant ist. 
Wenn in der Riemannschen Ebene der Abstand eines 
Punktes der Kurve von einem Brennpunkte F gleich r, von 
einem zweiten F' gleich r' ist, so ist der Abstand desselben 
Punktes vom Gegenpunkt F i des ersten Brennpunktes gleich 
Tin — r und vom Gegenpunkte F\ des zweiten gleich hn — r'. 
Wenn die Summe der Abstände von F und F' gleich 2 a ist, 
so ist demnach die Summe der Abstände von F 1 und F\ 
gleich 2h n — 2a. Schon daraus, dass ein Abstand 2a auf 
den Abstand 2hn — 2a hinauskommt, ergieht sich die Not 
wendigkeit, demjenigen Zweige, für welchen die Summe der 
Abstände gleich 2a ist, einen Zweig zuzuordnen, für welchen 
diese Summe gleich 2hn — 2a ist, und beide Zweige als Be 
standteile derselben Kurve zu betrachten; dasselbe ergieht sich 
aus dem Schnitt des geraden Kegels durch eine Ebene und 
aus der unten zu entwickelnden Gleichung des Kegelschnittes, 
In der Polarform der Riemannschen Ebene wird, da jeder 
Punkt mit seinem Gegenpunkt zusammenfällt, diese Betrach 
tung zu keinem zweiten Zweige führen. Daraus folgt: 
In der Riemannschen Ebene besteht der Kegelschnitt aus 
zwei getrennten Zweigen; im Innern eines jeden Zweiges liegen