§ 7. Die Ebenen und die Geraden im Raume. 33. 
61 
21) fc 2 AA t + № = 0, ^A'A'j + pVi'-O. 
Sollen bei positivem Werte von W die Wurzeln von 19) ein 
ander gleich sein, so müssen die Bedingungen erfüllt sein: 
22) A 00 =1A A n , A 01 =-A 10 oder: A 00 = — /, 2 A n , A 01 —A 10 . 
Setzt man aber diese Bedingungen in 18) ein, so werden 
> zwei Gleichungen mit den beiden andern identisch. Man kann 
also A, fi willkürlich wählen und dann A', ft' entsprechend 
bestimmen. Sind aber bei positivem JA die Wurzeln M 2 und 
M 2 verschieden, so müssen sie reell sein; denn bei imaginären 
Werten derselben müssten auch X : fi und X l : a, konjugiert 
komplexe Werte erhalten, also: 
— — a + bi, — = a — bi, . = a 2 -f- h 2 
fi fi a fifi t 
sein, was infolge der Gleichung 21) nicht möglich ist. Die 
Vergleichung von 21) und 16) lehrt noch, dass die Punkte 
(A, fi) und (A x , fij die Entfernung \ Tin haben. 
Lässt man in 17) A', fi' konstant und sucht dann das 
dem Minimum entsprechende Wertepaar (A, fi), so gelangt 
> man nur zu den beiden ersten Gleichungen 18); es stellt 
dann (A, fi) denjenigen Punkt dar, in welchem die vom Punkte 
[X\ fi') auf die erste Gerade gefällte Senkrechte dieselbe trifft; 
entsprechendes gilt für die beiden letzten Gleichungen 18); die 
Yerbindungsgerade zweier Punkte, welche den vier Gleichungen 
genügen, steht also auf beiden Geraden senkrecht. Demnach 
ergiebt sich aus der Untersuchung das Resultat: 
„Im endlichen Raume giebt es im allgemeinen zwei ge 
rade Linien, welche zwei beliebige windschiefe Gerade senk 
recht schneiden; jede solche Senkrechte ist Maximum oder 
Minimum für die Entfernungen, welche die Punkte der einen 
Geraden von der andern haben. Die beiden gemeinschaftlichen 
Senkrechten sind absolute Polaren von einander, d. h. der Ab- 
> stand von irgend zwei Punkten der beiden Geraden beträgt 
jIvtc und jede Gerade, welche beide trifft, steht auf beiden 
senkrecht. 
Wenn zwei gemeinschaftliche Senkrechte der beiden ge 
gebenen Geraden einander gleich sind, so haben die Geraden 
unendlich viele gemeinschaftliche Senkrechte, welche sämtlich