Zweiter Abschnitt. 
Der n-fach ausgedehnte Raum. 
§ I. Koordinaten. 
84. In unserm Raume ist die Grenze eines Raumteiles 
die Fläche, die Grenze eines Flächenteiles die Linie, die 
Grenze eines Linienteiles der Punkt, und der Punkt ist un 
teilbar. Man drückt dies kürzer durch die Worte aus: der 
Raum hat drei Dimensionen. So sehr die Frage nach der 
Dreizahl der Dimensionen die Philosophen beschäftigt hat, 
ist es bisher nicht gelungen, einen von unserer Erfahrung 
unabhängigen tiefem Grund dafür anzugehen, dass man durch 
einen dreimaligen Grenzübergang zu dem unteilbaren Gebilde 
gelangt. Wir verfolgen daher von jetzt an die Annahme, 
dass erst eine w-mal wiederholte Teilung, jedesmal mit einem 
Grenzühergange verbunden, zum Punkte führt. Dann legen 
wir dem Raume n Dimensionen hei; die Grenze eines Raum 
teiles (eines «-dimensionalen Körpers) ist ein erstes Grenz- 
gebilde oder ein Grenzgebilde von n — 1 Dimensionen; dasselbe 
ist teilbar und die Grenze ist ein (n — 2)-fach ausgedehntes 
Gebilde; indem wir in gleicher Weise fortfahren, stellt sich 
das n te Grenzgebilde als unteilbar heraus. Wenn wir diese 
Voraussetzung weiter verfolgen, können wir nur zu Sätzen 
gelangen, welche der Erfahrung nicht entsprechen; wir können 
uns im allgemeinen nicht einmal eine Vorstellung von den 
erhaltenen Resultaten machen. Aber dieselben Begriffs 
bildungen und Schlüsse, welche im dreifach ausgedehnten 
Raume zur Erforschung benutzt werden und welche hier von 
der Anschauung unterstützt werden und zu derselben zurück 
führen, erleiden bei der gemachten Amiahme keine wesent 
liche Veränderung. 
Gleichwie aber Euklid neben den allgemeinen Axiomen 
noch speziell die Gerade, die Ebene und den Kreis voraussetzt,