§ 1. Koordinaten. 34.85. 
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so müssen wir auch, um die dem Erfahrungsraume ent 
sprechenden mehrdimensionalen Räume zu erhalten, weitere 
Voraussetzungen machen, welche wir im Anschluss an Art. 1 
in folgender Weise formulieren. 
Durch jeden Punkt gehen (n — 1)-dimensionale Gebilde 
(Ebenen oder Hauptgehilde), denen folgende Eigenschaften 
zukommen: 
1. Durch jeden Punkt der (n — 1)-dimensionalen Ebene 
gieht es (n — 2)-fach ausgedehnte Gebilde, (n — 2)-fach aus 
gedehnte Ebenen, hei deren Ruhe noch Bewegung des Raumes 
möglich ist; 
2. bei dieser Bewegung wird eine Lage erreicht, bei 
welcher die (« — 1)-dimensionale Ebene als Ganzes in Deckung 
mit der Anfangslage kommt, während die einzelnen Punkte 
ihre Lage vertauschen; 
3. in jeder (n — 2)-dimensionalen Ebene gieht es Gebilde 
von (n — 3) Dimensionen, hei deren Ruhe die (n — l)-fach 
ausgedehnte Ebene in sich bewegt werden kann, und zwar 
beschreibt jeder Punkt eine geschlossene Linie; 
4. dieselbe Voraussetzung muss jetzt für jede kleinere 
Zahl von Dimensionen gemacht werden; in jeder v-dimen 
sionalen Ebene giebt es (y — l)-fach ausgedehnte und (y — 2)- 
fach ausgedehnte Ebenen, und bei der Ruhe der (y — 2)-dimen 
sionalen Ebene ist noch Bewegung der v - dimensionalen in 
sich möglich, und jede durch das ruhende Gebilde gelegte 
(y — 1)-dimensionale Ebene gelangt bei der Bewegung so in 
Deckung mit der Anfangslage, dass zwischen den beiden 
Lagen der einzelnen Punkte Vertauschbarkeit besteht. (Statt 
„einfach ausgedehnte Ebene“ ist der Ausdruck „gerade Linie“ 
im Gebrauch.) 
85. Aus diesen Voraussetzungen müssen zunächst einige 
Folgerungen gezogen werden, welche die Aufstellung eines 
Koordinatensystems und die Herleitung der ersten Formeln 
gestatten. Der Kürze wegen soll eine v- dimensionale Ebene 
kurz mit E v bezeichnet werden, und wenn mehrere Ebenen 
von gleicher Ausdehnungszahl gegeben sind, so sollen die- 
dieselben durch obere Marken (Exponenten) unterschieden 
werden. 
Killing, Nicht-Euklidische Raumformc-n. 
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