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Drittes Kapitel 
Nach § 98, Nr. 5 können wir jetzt schließen, daß (vgl. auch § 98, Nr. 4) 
ist, mithin 
v. 2 WZ 
mg{x) dx f[x) g[x) dx SS M j‘g{x) dx, 
Ö2 Ü'Z 
f m g [x] dx — J{j‘g [x) dx und 
ü\ dl 
M. 
Eine stetige Funktion nimmt aber beim Übergänge von einem Wert zu 
einem andern alle Zwischenwerte an. Es gibt folglich in (a x , a 2 ) eine Stelle 
wo /’(§) = K ist. Unsere Formel lautet also 
Ct2 Chi 
ff{x)g{x) dx — /■(!) Jg{x) dx- 
öi «1 
£ gehört dem Intervall {a x , a 2 ) an*). Dies ist der erste Mittelwertsatz. 
Sollte a x « 2 sein, so schreibt man zuerst 
«i öi 
Jf[x) g{x) dx = /•(!) J g{x) dx 
«2 Ö2 
und vertauscht dann beiderseits die Integrationsgrenzen, was auf eine Mul 
tiplikation mit — 1 hinauskommt. Die Formel gilt übrigens auch, wenn in 
{ a \ » a 2) überall g [x) SS 0 ist. 
Das Restglied der Taylorschen Formel (vgl. § 105) 
a + h 
r[a-\-h — x) n ~ x 
R " =,/ <*« 
a 7 
ist ein Integral von der hier betrachteten Art; denn [a -}- h — x) n ~ 1 liegt 
zwischen h n ~ x und 0, hat also innerhalb des Integrationsintervalls ein kon 
stantes Zeichen. Daher ist 
a + h 
= (« + **)*] 
und die Taylor sehe Formel läßt sich so schreiben: 
f(a + *) = /(«) 4- f («) H h /(»l (o + 9h). 
(0<#<1) 
In dieser Form findet man sie bei Lagrange. 
*) Wenn g[x) zwischen a x und a 2 nirgends null ist, so kann man verlangen, 
daß ¿im Innern des Intervalls («i, a 2 ) liegt. Käme nämlich der Wert m im 
Innern nicht vor, so hätte man daselbst überall fix) > f{£) oder überall fix) < /■(£), 
und dann könnte die obige Gleichung nicht stattfinden (vgl. §98, Nr. 5).