Zwölftes Kap. Sätze über die Ableitungen u. ihre Existenz. § 162. 291
stens auf der einen Seite stetig und überdies auch numerisch
kleiner als eine endliche Zahl sind.
Wenn nun (a lf bj) einer dieser Theile von (a, ß) ist, so
ist die Function d x in ihm entweder überall oder nur im
Allgemeinen (§ 39) stetig oder sie ist eine punktirt unstetige
Function (§ 153). Es müssen deshalb innerhalb (a t , bj stets
unendlich viele Punkte existiren, in denen d x durchaus stetig
ist und nach § 148 hat die Function f(x) in diesen Punkten
auch eine bestimmte und endliche Derivirte im gewöhnlichen
Sinn des Worts. Damit ist denn ein Theil des aufgestellten
Satzes bewiesen.
Wenn ferner die f(x) zwischen und b t nicht immer
constant ist, so kann die Ableitung d x nach dem Satz der
§§79 oder 146 nicht in jedem Punkt von (a 1} b x ) Null sein,
sondern es müssen unendlich viele Punkte dieses Intervalls
vorhanden sein, in denen sie von Null verschieden ist. Da
nun die Function d x in jedem Punkt von (a 1} b x ) wenigstens
auf einer Seite stetig ist, so existiren zwischen a t und b { auch
Intervalle von endlicher Ausdehnung, in denen die Func
tion d x in jedem Punkt endlich und von Null um mehr als
eine bestimmte Grösse verschieden ist und immer dasselbe
Vorzeichen hat. Beachtet man dann, dass dieser letzte Um
stand auch bedingt, dass die Function f(x) in denselben Inter
vallen immer wächst oder immer abnimmt, so ist damit der
oben aufgestellte Satz in allen seinen Theilen vollständig
bewiesen.
§ 162. Fassen wir nun die verschiedenen hier gewon
nenen Resultate zusammen, so gelangen wir ohne alle Schwie
rigkeit zu dem folgenden Satz, von dem wir schon im Anfang
des §158 sprachen: Wenn eine endliche und continuir-
liche Function f(x) in einem ganzen Intervall (a, b)
nicht unendlich viele Maxima und Minima hat und
sie auch nicht durch Subtraction (oder Addition einer
beliebigen Linearfunction fix -f- v erlangt; oder auch:
wenn unter den unendlich vielen Functionen cp(x),
welche sich so ergeben (die f(x) eingeschlossen), für
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