Krumme Linien.
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und in Verbindung mit der Gleichung der gegebenen Linie zur Be
stimmung der Coordinaten x und y des Berührungspunktes führt.
Als Erstes Beispiel diene der Kreis; da die Gleichung seiner
Tangente nach dem vorhergehenden §
yy-)-xx' = a 2 ist, so hat MÜN
ßj-{-CCX~SL 2 .
Diese mit der des Kreises verbundene Gleichung, wird die Coordi
naten X und y der Berührungspunkte bestimmen, oder was auf
dasselbe hinauslauft, diese Punkte werden dem Umkreise und der
durch die Gleichung
ß y ci x = a 2
ausgedrückten Linie gemein seyn (Trig. 2c. §. 105.).
Bei einer krummen Linie, die der Gleichung
x* — 3 a x y + y 3 = o
entspricht, findet man den Berührungspunkt, wenn man den
Durchschnittspunkt dieser Linie mit der Linie der zweiten Ordnung
aufsucht, die der Gleichung
ß (y 2 — ax)-|-ß (x 2 — a y) = a y x entspricht.
§. 71.
Um an eine gegebene krumme Linie eine Tangente zu ziehen,
die zugleich mit einer der Lage nach gegebenen Linie parallel sey,
oder die mit der Are der Abscissen einen Winkel mache, dessen tri
gonometrische Tangente durch a dargestellt werde, reicht es bloß
hin, aufzustellen
(Trig. ic. §.89.);
verbindet man diese Gleichung mit der der gegebenen krummen Li
nie, so lassen sich die Werthe von x und /bestimmen, die dem
gesuchten Berührungspunkte zukommen.
Ware die gegebene krumme Linie die gemeine Parabel, so
hätte man
:--=a, welches gäbe
1 — K- und X —
m
4 a'
§. 72.
In dem Vorhergehenden sind die Coordinaten rechtwinklig vor
ausgesetzt worden; allein es ist leicht wahrzunehmen, daß wenn sie
auch schiefwinklig wären, das Verhältniß von M'Q zu MQ, noch
immer das von PM §u PT zur Grenze haben, und die Glei
chung der Tangente ihre Form nicht ändern würde. Die Dreiecke
6*'