Kxumme Linien. 
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MPT und MPR würden nicht mehr rechtwinklig seyn, allein 
man würde in dem ersten die Seiten MP, PT und den einge 
schlossenen Winkel MPT, und in dem andern die Seite AIP nebst 
den Winkeln MPR und PMR, Complement von TMP, kennen. 
§. 73. 
Untersucht man die Lagen, welche die Tangente einer gegebe 
nen krummen Linie annimmt, wenn der Berührungspunkt sich 
immer mehr von dem Anfangspunkt der Coordinaten entfernt, so 
läßt sich, beurtheilen, ob jene krumme Linie, wie die Hyperbel, 
gerade Linien zu Asymptoten hat (Trig. rc. §. 163.), so wie deren 
Lage bestimmen. 
Man sieht nämlich, daß je mehr sich ein Punkt M in einer 
Fig. 5. krummen Linie MX Fig. 5., die eine Asymptote RS hat, von 
dem Anfangspunkte der Coordinaten entfernt, desto mehr sich die 
Tangente MT der Asymptote nähert, und die Punkte T und D 
rücken respektive nach denen R und E hin, so daß AR und AE 
Grenzen sind, die die Werthe von AT und AD nicht über 
schreiten, ja selbst nicht erreichen können, obschon sie so nahe kom 
men können, als man will. Es folgt hieraus, daß man, um zu 
erfahren, ob eine krumme Linie Asymptoten hat, zu untersuchen 
habe, ob die auf diese Linie bezüglichen Ausdrücke von AT und 
AD, Grenzen zulassen; findet dieses Letztere Satt, so geben die 
construirten Grenzen zwei Punkte R und E, durch die man nur 
die Gerade R 8 zu ziehen nöthig hat, um die verlangte Asymptote 
zu erhalten. 
Die Ausdrücke von AT und AD lassen sich aus dem von PT 
ableiten, der erste indem man bemerkt, daß AT — AP — PT, und 
der andere vermittelst der ähnlichen Dreiecke ADT und MPT; *) 
man leitet sie auch aus der Gleichung der Tangente (§. 68.) ab, 
wenn man nach und nach y'=o und x'=o macht (Trig. k. 
§. 87.). Man findet alsdann 
. m dx . _ dy 
AT —x — AD = y—x — 
dy' dx 
Wenn die eine der Größen A R und A E unendlich groß wird, 
während die andere endlich bleibt, so ist klar, daß die Asymptote 
mit derjenigen Axe parallel wird, worauf sich die erste befindet. 
Um keine der Asymptoten der krummen Linie zu übergehen, 
muß man nach und nach x und y unendlich groß machen, und 
jedes der verschiedenen Resultate, welches die beiden Hypothesen 
geben, in den Ausdrücken von A T und A D substituiren. Wenn 
AT und AD zugleich unendlich groß ausfallen, so hat, wie sich 
leicht schließen läßt, die gegebene Linie gar keine Asymptote. 
*) Man hat zu bemerken, daß in unserer Figur, die Linie AT negativ ist.