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Oscillationen. 
§. 76. 
Nehmen wir jetzt an, die zweite krumme Linie sey blos ihrer 
Gattung nach gegeben, d. h. die in ihrer Gleichung vorkommenden 
Constanten seyen unbestimmt; so wird man, vermittelst dieser Con- 
stanten, eben so vielen der obigen Gleichungen Genüge leisten kön 
nen, und die dadurch bestimmte krumme Linie wird von der Be 
schaffenheit seyn, daß keine unter den krummen Linien, die nicht 
eben so viele Bedingungen erfüllen, zwischen ihr und der ersten hin 
durchgehen könne. 
Es diene als erstes Beispiel, die allgemeine Gleichung der ge 
raden Linie 
y' = ax'+/?, welche gibt 
^7—«; verwandelt man x' in x, so gehen die 
Gleichungen 
dy' dy 
y —y, -rüber in 
J J ' dx d x 
y=«x+(?,~=:ß ; woraus sich die Werthe 
von a und ß ableiten lassen, und man wird zur Gleichung der 
Tangente erhalten 
y—y=j|(x' —*)/ wie in §. 68. 
Ist die krumme Linie M N' die Kreislinie, dargestellt durch die 
Gleichung 
(x' — a) 2 + (y— ß) 2 = f (Trig. rc. §.¡94.), so 
erfolgt nach zweimaliger Differentiation 
(x'_a)dx'+(y'-/?)dy' = o, 
dx' 2 + dy' 2 -{- (y' — ß) d 2 y' = o; wenn MÜN 
in diesen Gleichungen x' in x verwandelt, so müssen sie geben 
, d y' d y d 2 y d y' 
7=7 ’& r ~ ““ 
- A , und „ 
dx dx- 
dx 2 
oder, was dasselbe ist, sie müssen durch die auf den Punkt M der 
ersten krummen Linie bezüglichen Werthe von x, y, dy, d 2 y be 
friedigt werden: man wird demnach haben 
(x — «) 2 + (y — ß) 2 =f, 
(x— a)dx-f-(y — ß'jdy—o 
d x 2 d y 2 (y — ß) d 2 y = o : 
allein da die von der gegebenen krummen Linie abgeleiteten Größen 
bestimmt sind, weil sie einem besondern Punkte angehören, so 
müssen die Größen «, ß, y Werthe erhalten, welche geeignet 
sind, den drei letzten Gleichungen zu genügen.