Osculatione n. 
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§. 81. 
Ich werde mich nicht sehr über die Anwendung der Formeln 
v h (dx 2 +d ry 
y — j yi |!v ' 
dxd 5 y 
dy (dx 2 -|-dy 2 ) 
dx 2 + dy 2 
verbreiten, weil dieselbe keine Schwierigkeiten hat, wenn man dm 
Mechanismus des Differentiirens wohl inne hat. 
Da der Werth von y das Doppelzeichen ±- zuläßt, so kann 
man die Frage auswerfen, welches von beiden Zeichen anzuwenden 
sey; denn es ist klar, daß im Allgemeinen, an jedem Punkte der 
krummen Linie, nur ein einziger Krümmungshalbmesser vorhan 
den seyn könne, und da dieser Halbmesser, ausgenommen in eini 
gen besondern Punkten, weder in der Richtung der Ordinaten, 
noch in der der Abscissen liegt, so hat er, eigentlich zu reden, kein 
Vorzeichen in Bezug auf diese Linien. Die Bestimmung desjeni 
gen Vorzeichens, womit man ihn gewöhnlich versieht, hangt von 
demjenigen ab, welches man der Normale in Bezug aus einen be 
stimmten Sinn, in welchem sich die Krümmung befindet, zuerken 
nen will. Will man z. B., daß in den krummen Linien, deren 
hohle Seite nach der Are der Abscissen hingerichtet ist, die Normale 
positiv sey, so muß der Ausdruck von y das Vorzeichen — führen, 
d 2 y . 
weil (nach §. 62.) der Werth von ~ alsdann negatw ist; bei 
dieser Annahme wird der Krümmungshalbmesser negativ, wenn 
die hohle Seite der krummen Linie eine der vorigen entgegengesetzte 
» d 2 y e 
Lage hat, weil er zugleich nnt sein Vorzeichen ändert. Um 
uns dieser Uebereinkunft zu fügen, können wir für die Anwendun 
gen aufstellen: 
(dx 2 -j- dy 2 ) T 
dxd 2 j 
Da die allgemeine Gleichung der Linien der zweiten Ordnung 
y 2 = mx-j-nx 2 
zu folgenden führt: 
[4y 2 -f (m+2nx) 2 J dx 2 
4j s - 
2nydx 2 — (m -}- 2 nx) dx d y __ [4ny 2 — (m -f- 2nx) 2 ] dx 2