Osculatione n.
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§. 81.
Ich werde mich nicht sehr über die Anwendung der Formeln
v h (dx 2 +d ry
y — j yi |!v '
dxd 5 y
dy (dx 2 -|-dy 2 )
dx 2 + dy 2
verbreiten, weil dieselbe keine Schwierigkeiten hat, wenn man dm
Mechanismus des Differentiirens wohl inne hat.
Da der Werth von y das Doppelzeichen ±- zuläßt, so kann
man die Frage auswerfen, welches von beiden Zeichen anzuwenden
sey; denn es ist klar, daß im Allgemeinen, an jedem Punkte der
krummen Linie, nur ein einziger Krümmungshalbmesser vorhan
den seyn könne, und da dieser Halbmesser, ausgenommen in eini
gen besondern Punkten, weder in der Richtung der Ordinaten,
noch in der der Abscissen liegt, so hat er, eigentlich zu reden, kein
Vorzeichen in Bezug auf diese Linien. Die Bestimmung desjeni
gen Vorzeichens, womit man ihn gewöhnlich versieht, hangt von
demjenigen ab, welches man der Normale in Bezug aus einen be
stimmten Sinn, in welchem sich die Krümmung befindet, zuerken
nen will. Will man z. B., daß in den krummen Linien, deren
hohle Seite nach der Are der Abscissen hingerichtet ist, die Normale
positiv sey, so muß der Ausdruck von y das Vorzeichen — führen,
d 2 y .
weil (nach §. 62.) der Werth von ~ alsdann negatw ist; bei
dieser Annahme wird der Krümmungshalbmesser negativ, wenn
die hohle Seite der krummen Linie eine der vorigen entgegengesetzte
» d 2 y e
Lage hat, weil er zugleich nnt sein Vorzeichen ändert. Um
uns dieser Uebereinkunft zu fügen, können wir für die Anwendun
gen aufstellen:
(dx 2 -j- dy 2 ) T
dxd 2 j
Da die allgemeine Gleichung der Linien der zweiten Ordnung
y 2 = mx-j-nx 2
zu folgenden führt:
[4y 2 -f (m+2nx) 2 J dx 2
4j s -
2nydx 2 — (m -}- 2 nx) dx d y __ [4ny 2 — (m -f- 2nx) 2 ] dx 2