[4 y ? (m-f-2 n x) 5 ] T
2[4 n j 2 — (m + 2 n x) 2 J *
Substituirt man in diesem Ausdruck den Werth von y 2 ,
halt man
_ [4(m x4- n x 2 ) -f (m + 2n x) 2 ]
2 m 2
Dieses ist der allgemeine Ausdruck des Krümmungshalbmes
sers aller Linien der zweiten Ordnung; man erhält den der ver
schiedenen Arten dieser Linien, wenn man für m und n deren
Werthe in jedem besondern Falle substituirt. (Trig. rc. §. 157.).
Wenn x = o, so geht obiges Resultat über in
die Krümmung jener Linien ist
also in ihrem Scheitel dieselbe, wie die einer, mit einem, dem
halben Parameter gleichen; Halbmesser, beschriebenen Kreislinie
(Trig. rc. §. 138.).
Vergleicht man den Werth von / mit dem, c. §. 66. gesunde-
MR 3
nen, der Normale, so sieht man, daß y-.
Im 2
oder daß, bei
den Linien der zweiten Ordnung, der Krümmungs
halbmesser dem, durch das Quadrat des halben Pa
rameters dividirten, Cubus der Normale gleich ist.
Bei der Parabel, für welche n = o, hat man blos
(m 2 -f- 4 m x) 2
2 m 2
Man könnte eben so die allgemeinen Ausdrücke für x—cc und
y — ß anwenden, und nachdem man für y ihren Werth gesetzt,
hatte man zwei Gleichungen in x, a und ß, wovon man, durch
die Elimination von x, eine Gleichung in a und ß ableiten könnte,
die der Abgewickelten angehörte. Ich will diese Rechnung nur für
die Parabel durchführen. Man hat in diesem Falle
4y 3 /4y 2 + m 2 \ 4y 3
y~P=iir( z ^jjf-l=ür+y>