98
Besondere Punkte.
Null seyn, und dieselbe folglich daselbst eine unendlich große
Krümmung haben (§. 78.).
Man sieht auch, daß, weil die Lange des Bogens DF dem
Unterschiede zwischen dem entsprechenden Krümmungshalbmesser
lVIF und dem dem Anfangspunkte zugehörigen, AD, gleich ist,
die krumme Linie FD f rectificirbar ist, das heißt, daß
man gerade Linien angeben könne, die ihren Bogen gleich seyen.
Diese Bemerkung rst allgemein; denn weil man immer zum
Ausdruck des Krümmungshalbmessers der algebraischen krummen
Linien gelangen kann, so sind die Abgewickelten dieser Letzteren
stets rectificirbar.
Aufsuchen der besondern Punkte der krummen Li
nien, und Untersuchung der besondern Werthe,
welche die Differential - Coefficienten in gewissen
Fallen annehmen.
tz. 83.
Man nennt besondere Punkte einer krummen Linie, die
jenigen, worin diese letztere irgend einen merkwürdigen Umstand
darbietet. Da die meisten dieser Umstände in der Familie
von krummen Linien vorsindlich sind, welche durch die sehr ein
fache Gleichung
y=b -f- e (x — a) m
dargestellt wird, so wollen wir diese Gleichung besonders discu-
tiren, indem wir immer geometrische und analytische Betrach
tungen aneinander reihen, um die einen durch die andern auf
zuhellen.
Die zuerst sich darbietende Aufgabe ist die Bestimmung der
Aufeinanderfolge der Werthe der Ordinalen y, um zu wissen,
ob sie unbestimmt zm- oder abnehmen, oder ob ihr Zunehmen
aufhört- wenn sie eine gewisse Größe erreicht haben, und in ein
Abnehmen übergeht, oder endlich ob ihr Abnehmen aufhört, wenn
sie einen gewissen Grad von Kleinheit erreicht haben, und in ein
Zunehmen übergeht. Da der Werth, welcher bei dem Uebergang
von der Zunahme zur Abnahme Statt findet, größer ist als die
jenigen, welche ihm unmittelbar vorangehen oder nachfolgen, so
heißt er ein Maximum; das Minimum ist der Werth, wel
cher dem Punkt entspricht, wo die Abnahme in Zunahme über
geht; dieser ist also kleiner, als diejenigen, welche ihm unmit
telbar vorangehen oder nachfolgen: ich sage unmittelbar, weil es
krumme Linien gibt, bei denen diese Wechsel mehrere Malen
Statt finden.