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Besondere Punkte.
Fig. 13. Beim Punkte M Fig. 13., wo x = a, ist die Tangente wohl
noch parallel mit der Axe der Abscissen, allein die krumme Linie
bietet überdies noch einen andern Umstand dar: ihre hohle Seite
nimmt eine entgegengesetzte Lage an, was man aus der Aenderung
des Borzeichens des Differential - Coefficienten der zweiten Ord
nung ersieht (§. 62.): denn man hat
¿~2 — m (m — 1) c (x — a) m ~ 2 ,
und da m—2 auch eine ungerade Zahl ist, so geht (x — a) in ~ 2
vom Negativen zam Positiven, wenn man von x<a zu x>a
übergeht. Die Figur der krummen Linie in M heißt alsdann
Beugung (Inflexion); die Tangente MT durchschneidet
und berührt daselbst die krumme Linie zu gleicher Zeit.
3) Ist m ein Bruch, dessen Zähler gerade und Nenner unge
rade ist, z. B. m = , so wird erfolgen
L y__
dx
-3- c (x — a)
2c
i f
i3’
2 (x — a)'
welche Größe ihr Zeichen zugleich mit x — a ändert, und in der
That ist daselbst ein Minimum; denn ändere man x in a — h
2
oder in so wird man immerhin finden y=b-j-ch 3 ', ein
d y
Werth, der großer als b ist, allein der Werth x = a, anstatt ^
gleich Null zu machen, macht dasselbe unendlich groß. Dieses
rührt daher, daß, da eine ganze Größe ihr Vorzeichen nicht an
ders ändern kann, als wenn sie durch Null gebt, eine Bruchgröße,
die durch den Nenner ihr Vorzeichen ändert, auf diesem Wege un
endlich groß werden muß. Der Ausdruck ~, z. B., gibt nach
und nach
a cc a
ß' ö' ~"ß'
wenn man in ihm setzt ^ — ß, x = o, x—-ß.
Fig. 14. Betrachtet man dieses Minimum an der Figur 14., so fin
det man es von einer andern Gestalt, als dasjenige der Figur 11.;
denn da ^ unendlich groß wird, so ist die Tangente MT senk
recht auf die Are der Abscissen. Man sieht übrigens an dem
Ausdrucke
ä-y
d x 7
2 1
3 3
c(i
0
2c
4 f
\x
9(x — a) c
daß, weil dieser Differential-Coefficient einen negativen Werth
hat, was auch x seyn mag, die krumme Linie ihre hohle Seite