Besondere Punkte. 
109 
Wenn die Entwickelung u' — u gebrochene Potenzen von h 
enthalten muß, so ist zwar nicht immer wie so eben schon der 
Erste Differential-Coefficient unendlich groß, allein von einer 
nahem oder entfernteren Ordnung an, werden es dennoch alle 
folgenden. 
Beweis. Es sey im Allgemeinen 
u' = u + Ph si + Qh/ 3 + + Th«+ rc.; 
da u' eine Function des Binoms x-sill ist, so wird man die 
Gleichung 
du du' 
csh dx 1J * ) 
erhalten, wovon jede Seite ebenfalls eine Function von x -f- h ist. 
Differentiirt man nach und nach in Bezug auf t und auf x, so 
erhält man demnach 
d 2 
d 2 
u 
d 2 
dh 2 
dxdh' dxdh 
d 2 u' d 2 u* 
d h 2 d x 2 
d 2 u 
dx 2 
, U. s. w 
mithin 
woraus hervorgeht, daß die Function u in ihrer Beziehung auf h 
und in der auf x gleiche Differential - Coefficienten darbietet; wor 
auf man zu den Differential - Coefficienten von u übergehen kann, 
wenn man in den einen oder in den andern h — o macht. Dieses 
vorausgesetzt, bringt ein beliebiges Glied Th* von u', wenn man 
d 11 uZ 
den Ausdruck von sucht, ein Glied von folgender Form 
hervor 
L (e — 1) (e — 2) (e — n 1) T hf- n ; 
so lange n<£, so lange ist e — n positiv und die Annahme von 
h—o macht das letzte Glied gleich Null, und ist n=so eryält 
¿n U 
man ( £ — 1) IT. Allein ist e eine gebrochene Zahl, 
so geht e — n vom Positiven zum Negativen über, ohne inzwischen 
Null zu werden. Ist e — n negativ geworden, welches sobald 
Statt findet, als so wird, wenn man h = o macht, obi- 
d n u 
ges Glied unendlich groß; folglich wird dieses auch > wovon 
jenes Glied einen Theil ausmacht. 
Es ist klar, daß den Gliedern mit gebrochenen Exponenten an 
dere mit ganzen Exponenten vorhergehen können, wozu die sehr 
einfache Function 
p 
u = b x m -}- c (x — a) q