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Besondere Punkte.
ein Beispiel liefert, wenn und x=a angenommen wird;
ihre Differential-Coefficienten bleiben bis zur mten Ordnung von
endlicher Größe.
tz. 90.
Man hat wohl zu bemerken, daß im Vorhergehenden die unter
dem Wurzelzeichen befindliche Größe verschwand; denn es könnten
die Wurzelgrößen auch dadurch verschwinden, daß sie mit einem
Factor begleitet wären, den ein besonderer Werth von x auf Null
brachte; aber dieser Fall bildet keine Ausnahme für die Taylorsche
Reihe, weil die Wurzelgrößen, welche im Werthe der Function
verschwanden, bei den Differential-Coefficienten wieder zum Vor
schein kommen.
Es sey z. B.
u =b dr (x — a) m y"x— c;
hier läßt die Annahme von x—», welche die beiden Werthe von
il gleich werden läßt, die Differential-Coefficienten nur bis zur
Ordnung m ausschließlich verschwinden, weil man, bei einem Ver
fahren ähnlich dem des tz. 57., findet, daß alle Differential-Coef-
sicienten von einer niedriegern Ordnung den Factor x — a in allen
Gliedern enthalten, daß aber
(m —1) iKx —c+2C.
Da dieser Differential - Coefficient und die ihm folgenden jeder
zwei Werthe haben, so bilden sie zwei Reihen, welche die Werthe
der gegebenen Function wieder hervorbringen.
§. 91.
Die geometrischen Betrachtungen bestätigen die vorigen Bemer-
Frg.25.kungen; man sieht nämlich, daß die krumme Linie Fig. 25.,
welche beim Punkt F, welcher der Abscisse AG entspricht, nur
Eine Ordinate hat, deren bei der nächsten Abscisse Ac nur deß
halb zwei haben kann, weil die Ordinate CE zwei verschiedene
Aenderungen ge und qe' erleidet; allein die Ordinaten ce und
ce werden jede nur eine einzige Aenderung erleiden, wenn man zu
einer von A c verschiedenen Abscisse übergehen wird.
Eben so verhält es sich bei dem vielfachen Punkte G, wo zwei
Zweige der krummen Linie einander durchschneiden; die besondere
Ordinate F G erleidet auch hier, bei einem einzigen Zuwachse der
Abscisse Ff, die beiden Aenderungen rg und rg'.