Analyse einer krummen Linie. 124 
Linien werden eben so viele Zweige der krummen Linie seyn, welche 
der gegebenen Gleichung entspricht. 
Die Ausdehnung jedes einzelnen Zweiges wird von den mög 
lichen Auflösungen abhangen, die die ihm zukommende Gleichung 
zulaßt. Gibt es unter den Größen X", X", X'" rc. solche, die 
unendlich groß werden, oder in denen man x unendlich groß wer 
den lassen kann, so werden dadurch Zweige entstehen, die von un 
endlicher Ausdehnung sind, weil dieselben sich von der einen oder 
von beiden Aren zugleich unbestimmt weit entfernen können werden. 
Bei den algebraischen krummen Linien rückt ein Zweig nur da 
nicht weiter vor, wo die Ordinate anfängt imaginär zu werden: 
allein der Lauf der krummen Linie wird dadurch nicht unterbrochen, 
sondern es ereignet sich alsdann bloß, daß sich zwei Zweige verei 
nigen und gegenseitig fortsetzen. Man.wird sich hievon überzeugen, 
wenn man bemerkt, daß die imaginären Werthe von y nothwendig 
in gerader Anzahl vorhanden sind, und daß diejenigen, die zu dem 
selben Paare gehören, zuvor reell und gleich waren, ehe sie imagi 
när wurden. Denn da die gegebene Gleichung immer in reelle 
Factoren des Ersten und zweiten Grades zerlegt werden kann, so 
stelle y 3 — 2Py+Q = o einen der letzteren dar: man sieht als 
dann bald, daß die beiden von demselben herrührenden Wurzeln 
PdiKP 3 — Q nur dann in imaginäre übergehen, wenn das frü 
her kleinere Q jetzt größer wird als P 3 , und daß es folglich einen 
Punkt geben muß, wo die durch P und Q dargestellten Functionen 
von x, solche Werthe erlangen, daß? 3 — Q, wodurch die Wur 
zelgröße verschwindet, und für y zwei gleiche Werthe zum Vor 
schein kommen. 
Wenn mehrere Zweige sich in einem Punkte durchschneiden, so 
werden dort auch eben so viele Werthe von y einander gleich seyn. 
§. 106. 
Zum Beispiel diene die Gleichung 
y 4 — 96 a 2 y 2 -j-100 a 2 x 2 — x 4 = o. 
Diese Gleichung, die sich, sowohl in Bezug auf y als auf x, 
nach der Art derjenigen des zweiten Grades auflösen läßt, gibt: 
y — ± 48 a 2 + 1^2304 a 4 — 100 a 2 x 2 -J- x*; 
und macht man zur Abkürzung 
2304 a 4 — 100 a 2 x 2 <+■ x 4 = N, 
so zieht man daraus die vier folgenden Werthe: 
y = rsiqn (1), y = K‘48a«-r'N (2), 
y=-I / "48a’ + rN(3), y = -K"48^-0 (4),