Analyse einer krummen Linie, 
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y== o, y = T 48a 2 , y —Y~i8a*", 
aus denen hervorgeht: Iftens, daß die Gleichung (2) einen Theil 
A F gibt, welcher sich mit dem Theile OF in dem Punkte F ver 
einigt, wo die beiden Wurzeln (1) und (2) gleich werden: 2tens, 
daß vom Punkte H, auf dem von der Gleichung (1)) gelieferten 
Theile HX, ein Theil HK ausläuft, der aus der Gleichung (2) 
entspringt, worin y bis auf Null abnimmt, wenn 48 a* — IN, 
was den auf der Are der x gelegenen Punkt I andeutet: da jen 
seits jenes Punktes K’N^^Sa 2 wird, so ist der Werth (2) für 
immer imaginär, und der Theil H l endigt sich bei seiner Verbin 
dung mit dem correspondirenden unterhalb der Are der x befindli 
chen Theile. Die Abscisse AI wird offenbar durch die Gleichung, 
(48 a 2 )* ^=2304 a 4 — 100 a 2 x 2 +x 4 , 
bestimmt, welche einerlei ist mit, 
x* — 100 a 2 x 3 — o, 
woraus man zieht: 
x = o und x=i:10a. 
Da x —o die Abscisse des schon angegebenen Punktes A ist, so 
gibt x = 10 n den Punkt I, womit sich der Theil HI endigt. 
Es verdient noch bemerkt zu werden, daß sich die Punkte A, 
D und I unmittelbar durch die gegebene Gleichung bestimmen 
ließen, wenn man diejenigen aufsuchte, in denen die krumme Linie 
den Coordinaten-Axen begegnet, und daß die vorhergehende 
Discufsion, die analog ist derjenigen der allgemeinen Gleichung des 
zweiten Grades (Trig. rc. §.111.), hinreichend ist, um die Aus 
dehnung der verschiedenen Theile der krummen Linie kennen zu leh 
ren, aber nicht, um deren genaue Form zu ermitteln. Dieses letz 
tere hingegen leistet die Anwendung der Differential-Rechnung, 
welche überdieß das Aufsuchen der Grenzen der Zweige sehr ab 
kürzt, und den Vorzug hat, zu zeigen, wie dieses Aufsuchen sich 
auch da noch mit Erfolg anwenden läßt, wo die Gleichung der 
gegebenen krummen Linie von einem zu hohen Grade ist, als daß 
sich die eine der Veränderlichen allgemein durch die andere aus 
drücken ließe. 
§. 107. 
Ich werde diese neue Discufsion mit der Untersuchung der un 
endlichen Zweige der gegebenen krummen Linie beginnen. Die 
Betrachtung der Werthe von y (§. 106.) hat uns schon einsehen 
lassen, daß diese krumme Linie in jedem Coordinaten-Winkel einen 
Zweig hat, bei welchem x und y zu gleicher Zeit unendlich groß 
werden; aber ohne auf die erwähnten Formeln zurückzublicken, mache 
man y—t x, so wird die Gleichung der krummen Linie genau theil- 
bar durch x 2 , und gibt