Analyse einer krummen Linie,
127
y== o, y = T 48a 2 , y —Y~i8a*",
aus denen hervorgeht: Iftens, daß die Gleichung (2) einen Theil
A F gibt, welcher sich mit dem Theile OF in dem Punkte F ver
einigt, wo die beiden Wurzeln (1) und (2) gleich werden: 2tens,
daß vom Punkte H, auf dem von der Gleichung (1)) gelieferten
Theile HX, ein Theil HK ausläuft, der aus der Gleichung (2)
entspringt, worin y bis auf Null abnimmt, wenn 48 a* — IN,
was den auf der Are der x gelegenen Punkt I andeutet: da jen
seits jenes Punktes K’N^^Sa 2 wird, so ist der Werth (2) für
immer imaginär, und der Theil H l endigt sich bei seiner Verbin
dung mit dem correspondirenden unterhalb der Are der x befindli
chen Theile. Die Abscisse AI wird offenbar durch die Gleichung,
(48 a 2 )* ^=2304 a 4 — 100 a 2 x 2 +x 4 ,
bestimmt, welche einerlei ist mit,
x* — 100 a 2 x 3 — o,
woraus man zieht:
x = o und x=i:10a.
Da x —o die Abscisse des schon angegebenen Punktes A ist, so
gibt x = 10 n den Punkt I, womit sich der Theil HI endigt.
Es verdient noch bemerkt zu werden, daß sich die Punkte A,
D und I unmittelbar durch die gegebene Gleichung bestimmen
ließen, wenn man diejenigen aufsuchte, in denen die krumme Linie
den Coordinaten-Axen begegnet, und daß die vorhergehende
Discufsion, die analog ist derjenigen der allgemeinen Gleichung des
zweiten Grades (Trig. rc. §.111.), hinreichend ist, um die Aus
dehnung der verschiedenen Theile der krummen Linie kennen zu leh
ren, aber nicht, um deren genaue Form zu ermitteln. Dieses letz
tere hingegen leistet die Anwendung der Differential-Rechnung,
welche überdieß das Aufsuchen der Grenzen der Zweige sehr ab
kürzt, und den Vorzug hat, zu zeigen, wie dieses Aufsuchen sich
auch da noch mit Erfolg anwenden läßt, wo die Gleichung der
gegebenen krummen Linie von einem zu hohen Grade ist, als daß
sich die eine der Veränderlichen allgemein durch die andere aus
drücken ließe.
§. 107.
Ich werde diese neue Discufsion mit der Untersuchung der un
endlichen Zweige der gegebenen krummen Linie beginnen. Die
Betrachtung der Werthe von y (§. 106.) hat uns schon einsehen
lassen, daß diese krumme Linie in jedem Coordinaten-Winkel einen
Zweig hat, bei welchem x und y zu gleicher Zeit unendlich groß
werden; aber ohne auf die erwähnten Formeln zurückzublicken, mache
man y—t x, so wird die Gleichung der krummen Linie genau theil-
bar durch x 2 , und gibt